質量 $m_1$ の質点1と質量 $m_2$ の質点2があり、それぞれ力 $F_1$, $F_2$ を受けている。それぞれの位置ベクトルを $r_1$, $r_2$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) 2つの質点それぞれが受ける力は内力のみで、作用・反作用の法則により $F_1 = -F_2$ が成り立つとき、運動量保存則 $m_1 v_1 + m_2 v_2 =$ 一定 が成立することを示せ。ここで、$v_1 = \frac{dr_1}{dt}$, $v_2 = \frac{dr_2}{dt}$ である。 (2) 重心の位置ベクトルを $r_G = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ とする。(1)のとき、重心は等速運動することを示せ。 (3) 重心と共に動いている観測者が質点1と質点2を観測すると、全運動量は0になることを示せ。 (4) 2つの質点の相対位置ベクトルを $r = r_2 - r_1$ とする。$r = |r|$ のとき、$F_1 = -F_2 = f(r)\frac{r}{r}$ と表されるとき、$\mu \frac{d^2 r}{dt^2} = -f(r)\frac{r}{r}$ を示せ。ここで、$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ で、$f(r)$ は $r$ の任意関数である。

1. 問題の内容

質量 $m_1$ の質点1と質量 $m_2$ の質点2があり、それぞれ力 $F_1$, $F_2$ を受けている。それぞれの位置ベクトルを $r_1$, $r_2$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) 2つの質点それぞれが受ける力は内力のみで、作用・反作用の法則により $F_1 = -F_2$ が成り立つとき、運動量保存則 $m_1 v_1 + m_2 v_2 =$ 一定 が成立することを示せ。ここで、$v_1 = \frac{dr_1}{dt}$, $v_2 = \frac{dr_2}{dt}$ である。

(2) 重心の位置ベクトルを $r_G = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ とする。(1)のとき、重心は等速運動することを示せ。

(3) 重心と共に動いている観測者が質点1と質点2を観測すると、全運動量は0になることを示せ。

(4) 2つの質点の相対位置ベクトルを $r = r_2 - r_1$ とする。$r = |r|$ のとき、$F_1 = -F_2 = f(r)\frac{r}{r}$ と表されるとき、$\mu \frac{d^2 r}{dt^2} = -f(r)\frac{r}{r}$ を示せ。ここで、$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ で、$f(r)$ は $r$ の任意関数である。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式は $m_1 \frac{dv_1}{dt} = F_1$ , $m_2 \frac{dv_2}{dt} = F_2$ となる。

$F_1 = -F_2$ より、 $m_1 \frac{dv_1}{dt} + m_2 \frac{dv_2}{dt} = 0$ となる。

$\frac{d}{dt}(m_1 v_1 + m_2 v_2) = 0$ より、$m_1 v_1 + m_2 v_2 =$ 一定となる。

(2) $r_G = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ より、

$v_G = \frac{dr_G}{dt} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ となる。

(1)より $m_1 v_1 + m_2 v_2 =$ 一定なので、$v_G =$ 一定 となり、重心は等速運動する。

(3) 重心と共に動いている観測者から見た速度を $v'_1 = v_1 - v_G$, $v'_2 = v_2 - v_G$ とする。

全運動量は $m_1 v'_1 + m_2 v'_2 = m_1 (v_1 - v_G) + m_2 (v_2 - v_G) = m_1 v_1 + m_2 v_2 - (m_1 + m_2) v_G$ となる。

$v_G = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ より、 $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_G$ となるので、

$m_1 v'_1 + m_2 v'_2 = (m_1 + m_2) v_G - (m_1 + m_2) v_G = 0$ となる。

(4) 運動方程式は $m_1 \frac{d^2 r_1}{dt^2} = F_1$ , $m_2 \frac{d^2 r_2}{dt^2} = F_2$ となる。

$F_1 = -F_2 = f(r)\frac{r}{r}$ より、$m_1 \frac{d^2 r_1}{dt^2} = f(r)\frac{r}{r}$ , $m_2 \frac{d^2 r_2}{dt^2} = -f(r)\frac{r}{r}$ となる。

$r = r_2 - r_1$ より、$\frac{d^2 r}{dt^2} = \frac{d^2 r_2}{dt^2} - \frac{d^2 r_1}{dt^2}$ となる。

$\frac{d^2 r}{dt^2} = -\frac{1}{m_2}f(r)\frac{r}{r} - \frac{1}{m_1} f(r)\frac{r}{r} = -(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}) f(r)\frac{r}{r} = -(\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}) f(r)\frac{r}{r}$ となる。

$\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{d^2 r}{dt^2} = -f(r)\frac{r}{r}$ となるので、 $\mu \frac{d^2 r}{dt^2} = -f(r)\frac{r}{r}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $m_1 v_1 + m_2 v_2 =$ 一定

(2) 重心は等速運動する

(3) 全運動量は0になる

(4) $\mu \frac{d^2 r}{dt^2} = -f(r)\frac{r}{r}$