ある財・サービス市場の需要曲線 $P = 18 - 2Q$ と供給曲線 $P = Q$ が与えられたとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 完全競争市場の場合の均衡価格、均衡取引量、消費者余剰、生産者余剰を求めます。 (2) 独占市場の場合の企業の収入、費用、供給量、利潤を求めます。 (3) 複占市場（クールノー競争）の場合の企業の収入、費用、利潤を最大化する条件から各企業の供給量を求めます。

1. 問題の内容

ある財・サービス市場の需要曲線 $P = 18 - 2Q$ と供給曲線 $P = Q$ が与えられたとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 完全競争市場の場合の均衡価格、均衡取引量、消費者余剰、生産者余剰を求めます。

(2) 独占市場の場合の企業の収入、費用、供給量、利潤を求めます。

(3) 複占市場（クールノー競争）の場合の企業の収入、費用、利潤を最大化する条件から各企業の供給量を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 完全競争市場の場合

* 均衡条件は、需要曲線と供給曲線の交点なので、$18 - 2Q = Q$ を解きます。

$3Q = 18$

$Q^* = 6$

$P^* = Q^* = 6$

* 消費者余剰は、$P = 18$ から $P = 6$ までの需要曲線の下の面積から、価格 $6$ で $6$ 単位購入する費用を引いたものなので、

消費者余剰 = $\frac{1}{2} \times (18 - 6) \times 6 = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$

* 生産者余剰は、供給曲線の下の面積で、価格 $6$ で $6$ 単位販売した収入から費用を引いたものなので、

生産者余剰 = $\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$

(2) 独占市場の場合

* 企業の収入は、$P(Q) \times Q = (18 - 2Q)Q = 18Q - 2Q^2 = -2Q^2 + 18Q$

* 企業の費用は、$C(Q) = \frac{1}{2}Q^2$

* 企業の利潤は、$π(Q) = 収入 - 費用 = -2Q^2 + 18Q - \frac{1}{2}Q^2 = -\frac{5}{2}Q^2 + 18Q$

* 利潤を最大化するために、$π(Q)$ を $Q$ で微分して $0$ とおきます。

$\frac{dπ(Q)}{dQ} = -5Q + 18 = 0$

$Q^m = \frac{18}{5}$

* 利潤は、$π(\frac{18}{5}) = -\frac{5}{2}(\frac{18}{5})^2 + 18(\frac{18}{5}) = -\frac{1}{2} \times \frac{18^2}{5} + \frac{18^2}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{18^2}{5} = \frac{324}{10} = \frac{162}{5}$

(3) 複占市場（クールノー競争）の場合

* 市場全体の供給量 $Q = q_1 + q_2$

* 市場価格 $P = 18 - 2Q = 18 - 2(q_1 + q_2)$

* 企業 1 の収入 $P(Q) \times q_1 = (18 - 2(q_1 + q_2))q_1 = 18q_1 - 2q_1^2 - 2q_1q_2 = -2q_1^2 - 2q_1q_2 + 18q_1$

* 企業 2 の収入 $P(Q) \times q_2 = (18 - 2(q_1 + q_2))q_2 = 18q_2 - 2q_2^2 - 2q_1q_2 = -2q_2^2 - 2q_1q_2 + 18q_2$

* 各企業の費用 $C(q_i) = \frac{1}{2}q_i^2$

* 企業 1 の利潤を $q_1$ で微分すると、

$\frac{\partial π_1}{\partial q_1} = -4q_1 - 2q_2 + 18 = 0$

* 企業 2 の利潤を $q_2$ で微分すると、

$\frac{\partial π_2}{\partial q_2} = -4q_2 - 2q_1 + 18 = 0$

* 連立方程式を解くと、

$4q_1 + 2q_2 = 18$

$2q_1 + 4q_2 = 18$

$2q_1 + q_2 = 9$

$q_1 + 2q_2 = 9$

$q_2 = 9 - 2q_1$

$q_1 + 2(9 - 2q_1) = 9$

$q_1 + 18 - 4q_1 = 9$

$-3q_1 = -9$

$q_1 = 3$

$q_2 = 9 - 2(3) = 3$

よって、$q_1 = q_2 = 3$

3. 最終的な答え

(ア) 6

(イ) 6

(ウ) 2

(エ) 1

(オ) 8

(カ) 1

(キ) 8

(ク) 4

(ケ) 2

(コ) 3

(※※) 36

(☆☆) 18

(▽▽) 162/5