質量 $m$ の質点の位置ベクトルを $\vec{r}$ 、速度ベクトルを $\vec{v}$ とします。質点には力 $\vec{F}$ が働いています。以下の問いに答えてください。 (1) 質点の運動方程式を $m$, $\vec{v}$, $\vec{F}$ を用いて表してください。 (2) 角運動量ベクトル $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を定義すると、$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ が成立することを示してください。ここで、$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$ は力のモーメントです。 (3) 力ベクトルが $\vec{F} = f(r)\vec{r}$ と表されるとき、$\vec{N} = 0$ であることを示してください。ここで、$r = |\vec{r}|$ で、$f(r)$ は $r$ の任意の関数です。 (4) (3) のとき、質点の位置ベクトル $\vec{r}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は、ベクトル $\vec{L}$ を法線にもつ平面内のみに存在することを示してください。 (5) (4) のとき、$\vec{L}$ を $z$ 軸に平行にすると、質点は $xy$ 平面上で運動します。質点の位置が $x = r\cos\phi$、$y = r\sin\phi$ で与えられるとすると、$L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\phi}$ で与えられることを示してください。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点の位置ベクトルを $\vec{r}$ 、速度ベクトルを $\vec{v}$ とします。質点には力 $\vec{F}$ が働いています。以下の問いに答えてください。

(1) 質点の運動方程式を $m$, $\vec{v}$, $\vec{F}$ を用いて表してください。

(2) 角運動量ベクトル $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ を定義すると、$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ が成立することを示してください。ここで、$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$ は力のモーメントです。

(3) 力ベクトルが $\vec{F} = f(r)\vec{r}$ と表されるとき、$\vec{N} = 0$ であることを示してください。ここで、$r = |\vec{r}|$ で、$f(r)$ は $r$ の任意の関数です。

(4) (3) のとき、質点の位置ベクトル $\vec{r}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は、ベクトル $\vec{L}$ を法線にもつ平面内のみに存在することを示してください。

(5) (4) のとき、$\vec{L}$ を $z$ 軸に平行にすると、質点は $xy$ 平面上で運動します。質点の位置が $x = r\cos\phi$、$y = r\sin\phi$ で与えられるとすると、$L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\phi}$ で与えられることを示してください。

2. 解き方の手順

(1) 質点の運動方程式は、ニュートンの運動の第二法則から直接得られます。

(2) 角運動量の時間微分を計算し、$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$ が成り立つことを示します。

(3) 力のモーメントの定義に $\vec{F} = f(r)\vec{r}$ を代入し、$\vec{N} = 0$ となることを示します。

(4) $\vec{L}$ が時間的に一定であることと、$\vec{r} \cdot \vec{L} = 0$ および $\vec{v} \cdot \vec{L} = 0$ を示すことで、$\vec{r}$ と $\vec{v}$ が $\vec{L}$ を法線とする平面内に存在することを示します。

(5) $xy$ 平面上の運動において、角運動量の $z$ 成分を計算し、$L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\phi}$ を導きます。

(1) 運動方程式

ニュートンの運動の第二法則より、

$$$$

m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}

$$$$

(2) 角運動量の時間微分

角運動量 $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ の時間微分を計算します。

$$$$

\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{r} \times \vec{v}) = m\left(\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{v} + \vec{r} \times \frac{d\vec{v}}{dt}\right)

$$$$

ここで、$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ であり、$\vec{v} \times \vec{v} = 0$ なので、

$$$$

\frac{d\vec{L}}{dt} = m\left(0 + \vec{r} \times \frac{d\vec{v}}{dt}\right) = \vec{r} \times m\frac{d\vec{v}}{dt}

$$$$

運動方程式 $m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}$ より、

$$$$

\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{N}

$$$$

(3) 力のモーメントの計算

$\vec{F} = f(r)\vec{r}$ のとき、力のモーメントは、

$$$$

\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times (f(r)\vec{r}) = f(r)(\vec{r} \times \vec{r}) = 0

$$$$

(4) 位置ベクトルと速度ベクトルの存在平面

$\vec{N} = 0$ より、$\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ なので、$\vec{L}$ は時間的に一定です。

$\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$ より、$\vec{r} \cdot \vec{L} = 0$ および $\vec{v} \cdot \vec{L} = 0$ です。

これは、$\vec{r}$ と $\vec{v}$ が $\vec{L}$ に垂直であることを意味します。したがって、$\vec{r}$ と $\vec{v}$ は $\vec{L}$ を法線ベクトルとする平面内に存在します。

(5) $xy$ 平面上の運動

質点の位置が $x = r\cos\phi$、$y = r\sin\phi$ で与えられるとき、位置ベクトルは $\vec{r} = (r\cos\phi, r\sin\phi, 0)$ です。

速度ベクトルは $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (\dot{r}\cos\phi - r\dot{\phi}\sin\phi, \dot{r}\sin\phi + r\dot{\phi}\cos\phi, 0)$ です。

角運動量ベクトルは

$$$$

\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v} = m(0, 0, r(\dot{r}\sin\phi + r\dot{\phi}\cos\phi) - r(\dot{r}\cos\phi - r\dot{\phi}\sin\phi)) = m(0, 0, r^2\dot{\phi})

$$$$

したがって、$L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\phi}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}$

(2) $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$

(3) $\vec{N} = 0$

(4) $\vec{r}$ と $\vec{v}$ は $\vec{L}$ を法線ベクトルとする平面内に存在する

(5) $L = |\vec{L}| = mr^2\dot{\phi}$