ある財・サービス市場の需要曲線 $P = 18 - 2Q$ と供給曲線 $P = Q$ が与えられたとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 完全競争市場における均衡価格、取引量、消費者余剰、生産者余剰を求める。 (2) 独占市場における供給量と利潤を求める。 (3) 複占市場（クールノー競争）における各企業の供給量を求め、完全競争市場、独占市場との供給量を比較する。

1. 問題の内容

ある財・サービス市場の需要曲線 $P = 18 - 2Q$ と供給曲線 $P = Q$ が与えられたとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 完全競争市場における均衡価格、取引量、消費者余剰、生産者余剰を求める。

(2) 独占市場における供給量と利潤を求める。

(3) 複占市場（クールノー競争）における各企業の供給量を求め、完全競争市場、独占市場との供給量を比較する。

2. 解き方の手順

(1) 完全競争市場の場合

均衡条件は、需要曲線と供給曲線が交わる点なので、$18 - 2Q = Q$ を解きます。

$3Q = 18$

$Q = 6$

均衡取引量は $Q^* = 6$。

均衡価格は、$P = Q$ より、$P^* = 6$。

消費者余剰は、需要曲線と均衡価格で囲まれた三角形の面積なので、

$(18 - 6) \times 6 \div 2 = 36$

生産者余剰は、供給曲線と均衡価格で囲まれた三角形の面積なので、

$(6 - 0) \times 6 \div 2 = 18$。

(2) 独占市場の場合

企業の収入は、$P(Q) \times Q = (18 - 2Q)Q = 18Q - 2Q^2$。

企業の費用は、$C(Q) = \frac{1}{2} Q^2$。

利潤 $\pi$ は、収入から費用を引いたものなので、

$\pi = 18Q - 2Q^2 - \frac{1}{2} Q^2 = 18Q - \frac{5}{2} Q^2$。

利潤を最大化するためには、利潤を $Q$ で微分して0とおきます。

$\frac{d\pi}{dQ} = 18 - 5Q = 0$。

$5Q = 18$

$Q^m = \frac{18}{5}$。

利潤は、$\pi = 18 \times \frac{18}{5} - \frac{5}{2} \times (\frac{18}{5})^2 = \frac{324}{5} - \frac{5}{2} \times \frac{324}{25} = \frac{324}{5} - \frac{324}{10} = \frac{324}{10} = \frac{162}{5}$。

(3) 複占市場の場合

市場全体の供給量は、$Q = q_1 + q_2$。

市場価格は、$P = 18 - 2Q = 18 - 2(q_1 + q_2)$。

企業1の収入は、$P(Q) \times q_1 = (18 - 2(q_1 + q_2)) q_1 = 18q_1 - 2q_1^2 - 2q_1q_2$。

企業2の収入は、$P(Q) \times q_2 = (18 - 2(q_1 + q_2)) q_2 = 18q_2 - 2q_2^2 - 2q_1q_2$。

企業1の費用は、$C(q_1) = \frac{1}{2} q_1^2$。

企業2の費用は、$C(q_2) = \frac{1}{2} q_2^2$。

企業1の利潤 $\pi_1$ は、

$\pi_1 = 18q_1 - 2q_1^2 - 2q_1q_2 - \frac{1}{2} q_1^2 = 18q_1 - \frac{5}{2} q_1^2 - 2q_1q_2$。

$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 18 - 5q_1 - 2q_2 = 0$。

企業2の利潤 $\pi_2$ は、

$\pi_2 = 18q_2 - 2q_2^2 - 2q_1q_2 - \frac{1}{2} q_2^2 = 18q_2 - \frac{5}{2} q_2^2 - 2q_1q_2$。

$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 18 - 5q_2 - 2q_1 = 0$。

連立方程式を解くと、

$5q_1 + 2q_2 = 18$

$2q_1 + 5q_2 = 18$。

$q_1 = q_2$ なので、$7q_1 = 18$

$q_1 = q_2 = \frac{18}{7}$。

完全競争市場、独占市場、複占市場の供給量を比較すると、

$Q^* = 6$

$Q^m = \frac{18}{5} = 3.6$

$q_1 + q_2 = \frac{36}{7} \approx 5.14$

$Q^m < q_1 + q_2 < Q^*$

3. 最終的な答え

(ア) 6

(イ) 6

(ウ) 2

(エ) 18

(オ) 1

(カ) 18

(キ) 5

(ク) 5

(ケ) 2

(コ) 7

(※※) 36

(☆☆) 18

(▽▽) 162

完全競争市場の総供給量 $Q^* = 6$ は、独占市場の総供給量 $Q^m = \frac{18}{5}$ よりも大きく、複占市場の総供給量 $q_1+q_2 = \frac{36}{7}$ よりも大きい。