問題は以下の3つの設問から構成されています。 (1) ニッケル(Ni)の面心立方格子に関する設問で、単位格子に含まれる原子の数、充填率、密度を求めます。 (2) 塩化ナトリウム(NaCl)分子に関する設問で、完全にイオン結合とした場合の双極子モーメントと、実際のイオン性を求めます。 (3) 電子の運動に関する設問で、運動エネルギー、運動量、物質波の波長を求めます。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの設問から構成されています。

(1) ニッケル(Ni)の面心立方格子に関する設問で、単位格子に含まれる原子の数、充填率、密度を求めます。

(2) 塩化ナトリウム(NaCl)分子に関する設問で、完全にイオン結合とした場合の双極子モーメントと、実際のイオン性を求めます。

(3) 電子の運動に関する設問で、運動エネルギー、運動量、物質波の波長を求めます。

2. 解き方の手順

(1) Niの面心立方格子

(a) 単位格子に含まれる原子の数：面心立方格子では、各頂点に1/8個、各面に1/2個の原子が存在します。したがって、単位格子に含まれる原子の数は、$N = 8 \times (1/8) + 6 \times (1/2) = 1 + 3 = 4$個です。

(b) 充填率：面心立方格子の充填率は、$F = \pi \sqrt{2}/6 \approx 0.74 = 74 \%$ です。

(c) 密度：密度 $\rho$ は、$\rho = \frac{N \times M}{V \times N_A}$ で計算できます。ここで、$N$は単位格子に含まれる原子の数、$M$は原子量、$V$は単位格子の体積、$N_A$はアボガドロ定数です。

$N = 4$、 $M = 59$ g/mol、$V = a^3 = (3.6 \times 10^{-8} \text{cm})^3 = 4.6656 \times 10^{-23} \text{cm}^3$、$N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{mol}^{-1}$ を代入します。

$\rho = \frac{4 \times 59}{4.6656 \times 10^{-23} \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{236}{28.096} \approx 8.40$ g/cm$^3$

(2) NaCl分子

(a) $Na^+Cl^-$ としたときの双極子モーメント $\mu^*$:

電荷 $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{C}$、原子間距離 $r = 2.4 \times 10^{-10} \text{m}$ なので、$\mu^* = e \times r$ で計算できます。

$\mu^* = 1.602 \times 10^{-19} \times 2.4 \times 10^{-10} = 3.8448 \times 10^{-29} \text{C m}$

単位をデバイ(D)に変換します。$1 \text{D} = 3.336 \times 10^{-30} \text{C m}$なので、

$\mu^* = \frac{3.8448 \times 10^{-29}}{3.336 \times 10^{-30}} \approx 11.53 \text{D}$

(b) NaClの結合のイオン性 $\alpha$:

イオン性 $\alpha = \frac{\mu}{\mu^*} \times 100$ で計算します。ここで、$\mu = 9.0 \text{D}$、$\mu^* = 11.53 \text{D}$ です。

$\alpha = \frac{9.0}{11.53} \times 100 \approx 78.06 \%$

(3) 電子

(a) 運動エネルギー $K$:

$K = \frac{1}{2}mv^2$ で計算します。ここで、$m = 9.109 \times 10^{-31} \text{kg}$、$v = 5.4 \times 10^4 \text{m/s}$ です。

$K = \frac{1}{2} \times 9.109 \times 10^{-31} \times (5.4 \times 10^4)^2 = \frac{1}{2} \times 9.109 \times 10^{-31} \times 2.916 \times 10^9 = 1.329 \times 10^{-21} \text{J}$

(b) 運動量 $p$:

$p = mv$ で計算します。

$p = 9.109 \times 10^{-31} \times 5.4 \times 10^4 = 4.919 \times 10^{-26} \text{kg m/s}$

(c) 物質波の波長 $\lambda$:

$\lambda = \frac{h}{p}$ で計算します。ここで、$h = 6.626 \times 10^{-34} \text{J s}$ です。

$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4.919 \times 10^{-26}} = 1.347 \times 10^{-8} \text{m}$

3. 最終的な答え

(1) Niの面心立方格子

(a) 4 個

(b) 74 %

(c) 8.40 g/cm$^3$

(2) NaCl分子

(a) 11.53 D

(b) 78.06 %

(3) 電子

(a) 1.329 x 10^{-21} J

(b) 4.919 x 10^{-26} kg m/s

(c) 1.347 x 10^{-8} m