与えられた関数 $f(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right)$ が拡散方程式（熱方程式）$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ を満たすことを証明する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right)$ が拡散方程式（熱方程式）$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ を満たすことを証明する。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x,t)$を$t$で偏微分する。

$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right)\right)$

$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{\partial}{\partial t} \left(t^{-1/2} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right)\right)$

積の微分公式を用いる。

$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(-\frac{1}{2}t^{-3/2} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right) + t^{-1/2} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right) \frac{(x-\mu)^2}{2t^2}\right)$

$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right) \left(-\frac{1}{2t} + \frac{(x-\mu)^2}{2t^2}\right)$

$\frac{\partial f}{\partial t} = f(x,t) \left(\frac{(x-\mu)^2 - t}{2t^2}\right)$

(2) 次に、$f(x,t)$を$x$で2回偏微分する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right)\right)$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right) \left(-\frac{2(x-\mu)}{2t}\right)$

$\frac{\partial f}{\partial x} = f(x,t) \left(-\frac{(x-\mu)}{t}\right)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(f(x,t) \left(-\frac{(x-\mu)}{t}\right)\right)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial f}{\partial x} \left(-\frac{(x-\mu)}{t}\right) + f(x,t) \left(-\frac{1}{t}\right)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f(x,t) \left(-\frac{(x-\mu)}{t}\right) \left(-\frac{(x-\mu)}{t}\right) + f(x,t) \left(-\frac{1}{t}\right)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f(x,t) \left(\frac{(x-\mu)^2}{t^2} - \frac{1}{t}\right)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f(x,t) \left(\frac{(x-\mu)^2 - t}{t^2}\right)$

(3) 拡散方程式の右辺を計算する。

$\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{2} f(x,t) \left(\frac{(x-\mu)^2 - t}{t^2}\right)$

$\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f(x,t) \left(\frac{(x-\mu)^2 - t}{2t^2}\right)$

(4) $\frac{\partial f}{\partial t}$と$\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$が等しいことを確認する。

$\frac{\partial f}{\partial t} = f(x,t) \left(\frac{(x-\mu)^2 - t}{2t^2}\right)$

$\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f(x,t) \left(\frac{(x-\mu)^2 - t}{2t^2}\right)$

したがって、$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

関数 $f(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2t}\right)$ は拡散方程式 $\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ を満たす。