図1のような給水管A, Bと排水管Cが付いた水槽がある。最初は空の水槽に給水管Aのみを開けて水を入れ、30分後に給水管Bも開ける。給水開始から40分後に水槽は満水になる。満水になったと同時に給水管A, Bを閉め、10分後に排水管Cを開けると、排水開始から40分後に水槽は空になる。図2は、給水開始からx分後の水槽内の水の量y (L) を表したグラフである。 (1) 給水管A, Bから出る水の量をそれぞれ求める。 (2) 給水を止めてから水槽が空になるまでのxとyの関係を表すグラフを描く。 (3) 水槽に入っている水の量が420Lになるのは、給水開始から何分後と何分後か求める。

## 回答

1. **問題の内容**

図1のような給水管A, Bと排水管Cが付いた水槽がある。最初は空の水槽に給水管Aのみを開けて水を入れ、30分後に給水管Bも開ける。給水開始から40分後に水槽は満水になる。満水になったと同時に給水管A, Bを閉め、10分後に排水管Cを開けると、排水開始から40分後に水槽は空になる。図2は、給水開始からx分後の水槽内の水の量y (L) を表したグラフである。

(1) 給水管A, Bから出る水の量をそれぞれ求める。

(2) 給水を止めてから水槽が空になるまでのxとyの関係を表すグラフを描く。

(3) 水槽に入っている水の量が420Lになるのは、給水開始から何分後と何分後か求める。

2. **解き方の手順**

**(1) 給水管A, Bから出る水の量を求める**

* 給水管Aから出る水の量を毎分$a$ L、給水管Bから出る水の量を毎分$b$ Lとする。

* 図2のグラフより、給水開始から30分後には水槽に300Lの水が入っているため、$30a = 300$ が成り立つ。

* 給水開始から40分後に水槽が満水になるので、満水の水の量を$V$ Lとすると、$V = 40a + 10b$ が成り立つ。

* グラフより$V = 600$ Lなので、$40a + 10b = 600$ が成り立つ。

* $30a = 300$ より $a = 10$ L/分。

* $40a + 10b = 600$ に $a = 10$ を代入すると、$400 + 10b = 600$ より $10b = 200$ となり、$b = 20$ L/分。

**(2) 給水を止めてから水槽が空になるまでのxとyの関係を表すグラフを描く**

* 排水管Cから出る水の量を毎分$c$ Lとする。

* 給水を止めてから10分後に排水管Cを開け、排水開始から40分後に水槽が空になったので、$50c = 600$ が成り立つ。

* $50c=600$ より、$c = 12$ L/分。

* 給水を止めてからx分後の水槽内の水の量を$y$ Lとすると、$y = 600 - 12(x - 40)$。

* よって、$y = 600 - 12x + 480 = 1080 - 12x$ 。ただし、$40 \leq x \leq 90$。

* $x = 40$のとき、$y = 600$。

* $x = 90$のとき、$y = 0$。

* よって、点(40, 600)と点(90, 0)を結ぶ直線を描けば良い。

**(3) 水槽に入っている水の量が420Lになるのは、給水開始から何分後と何分後か求める**

* 給水開始から30分までは、毎分10Lずつ水が増える。

* 給水開始から$x$分後の水の量が420Lになるのは、$10x = 420$のとき。

* よって、$x = 42$ 分。これは30分後より後なので、この値は不適。

* 給水開始から30分後から40分までは、毎分10 + 20 = 30Lずつ水が増える。

* 給水開始から$x$分後の水の量が420Lになるのは、$300 + 30(x-30) = 420$のとき。

* $300 + 30x - 900 = 420$

* $30x = 420 + 600 = 1020$

* $x = 34$ 分。

3. **最終的な答え**

(1)

* 給水管Aから出る水の量は毎分10L。

* 給水管Bから出る水の量は毎分20L。

(2) グラフは解答用紙に記載。

(3) 水槽に入っている水の量が420Lになるのは、給水開始から34分後。