(6) 物体の原点の周りの角運動量ベクトルを$\vec{L}$とする。$\vec{L}$の$x, y, z$各成分の大きさを求めよ。 ただし、画像に書かれている解答は間違っているようです。

1. 問題の内容

(6) 物体の原点の周りの角運動量ベクトルを$\vec{L}$とする。$\vec{L}$の$x, y, z$各成分の大きさを求めよ。

ただし、画像に書かれている解答は間違っているようです。

2. 解き方の手順

角運動量$\vec{L}$は、$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$で定義されます。ここで、$\vec{r}$は位置ベクトル、$\vec{p}$は運動量ベクトルです。

図より、円運動の半径を$R$、角速度を$\omega$とすると、位置ベクトル$\vec{r}$は、

$\vec{r} = (x, y, 0) = (R\cos(\omega t), R\sin(\omega t), 0)$

運動量ベクトル$\vec{p}$は、質量を$m$として、

$\vec{p} = m\vec{v} = m(-R\omega\sin(\omega t), R\omega\cos(\omega t), 0)$

したがって、角運動量ベクトル$\vec{L}$は、

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = (x, y, 0) \times (p_x, p_y, 0) = (0, 0, xp_y - yp_x)$

$L_x = 0$

$L_y = 0$

$L_z = x p_y - y p_x = R\cos(\omega t) \cdot m R\omega\cos(\omega t) - R\sin(\omega t) \cdot (-mR\omega\sin(\omega t)) = m R^2 \omega (\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)) = mR^2\omega$

3. 最終的な答え

$L_x = 0$

$L_y = 0$

$L_z = mR^2\omega$