ある財・サービス市場の需要曲線と供給曲線が与えられており、 需要曲線は $P = 18 - 2Q$、供給曲線は $P = Q$ で表される。 (1) 完全競争市場の場合の均衡価格、取引量、消費者余剰、生産者余剰を求める。 (2) 供給企業が1社のみの独占市場における収入、費用、供給量、利潤を求める。 (3) 供給企業が2社存在する複占市場における各企業の収入、費用、利潤を最大化する条件と均衡供給量を求める。

1. 問題の内容

ある財・サービス市場の需要曲線と供給曲線が与えられており、

需要曲線は $P = 18 - 2Q$、供給曲線は $P = Q$ で表される。

(1) 完全競争市場の場合の均衡価格、取引量、消費者余剰、生産者余剰を求める。

(2) 供給企業が1社のみの独占市場における収入、費用、供給量、利潤を求める。

(3) 供給企業が2社存在する複占市場における各企業の収入、費用、利潤を最大化する条件と均衡供給量を求める。

2. 解き方の手順

(1) 完全競争市場

均衡条件は需要曲線と供給曲線の交点であるから、$18 - 2Q = Q$ を解いて均衡取引量 $Q^*$ を求める。

$3Q = 18$ より、$Q^* = 6$。

均衡価格 $P^*$ は $P^* = Q^* = 6$。

消費者余剰は、需要曲線と均衡価格で囲まれた三角形の面積で計算される。

消費者余剰 = $(18 - 6) \times 6 / 2 = 36$。

生産者余剰は、供給曲線と均衡価格で囲まれた三角形の面積で計算される。

生産者余剰 = $(6 - 0) \times 6 / 2 = 18$。

(2) 独占市場

企業の収入は $P(Q) \times Q = (18 - 2Q)Q = 18Q - 2Q^2$。

企業の費用は $C(Q) = \frac{1}{2}Q^2$。

利潤は $\pi(Q) = 18Q - 2Q^2 - \frac{1}{2}Q^2 = 18Q - \frac{5}{2}Q^2$。

利潤最大化条件は $\frac{d\pi}{dQ} = 18 - 5Q = 0$。

したがって、独占企業の供給量 $Q^m = \frac{18}{5}$。

利潤は $\pi(Q^m) = 18 \times \frac{18}{5} - \frac{5}{2} \times (\frac{18}{5})^2 = \frac{324}{5} - \frac{5}{2} \times \frac{324}{25} = \frac{324}{5} - \frac{324}{10} = \frac{324}{10} = \frac{162}{5}$。

(3) 複占市場

市場全体の供給量は $Q = q_1 + q_2$。

市場価格は $P = 18 - 2Q = 18 - 2(q_1 + q_2)$。

企業1の収入は $P(Q) \times q_1 = (18 - 2(q_1 + q_2))q_1 = 18q_1 - 2q_1^2 - 2q_1q_2$。

企業2の収入は $P(Q) \times q_2 = (18 - 2(q_1 + q_2))q_2 = 18q_2 - 2q_2^2 - 2q_1q_2$。

各企業の費用は $C(q_i) = \frac{1}{2}q_i^2$ (i = 1, 2)。

企業1の利潤は $\pi_1(q_1, q_2) = 18q_1 - 2q_1^2 - 2q_1q_2 - \frac{1}{2}q_1^2 = 18q_1 - \frac{5}{2}q_1^2 - 2q_1q_2$。

企業2の利潤は $\pi_2(q_1, q_2) = 18q_2 - 2q_2^2 - 2q_1q_2 - \frac{1}{2}q_2^2 = 18q_2 - \frac{5}{2}q_2^2 - 2q_1q_2$。

企業1の利潤を $q_1$ で微分すると $\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 18 - 5q_1 - 2q_2 = 0$。

企業2の利潤を $q_2$ で微分すると $\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 18 - 5q_2 - 2q_1 = 0$。

これらを連立させて $q_1$ と $q_2$ を求めると、

$5q_1 + 2q_2 = 18$

$2q_1 + 5q_2 = 18$

$q_1 = q_2$ より、$7q_1 = 18$。

$q_1 = q_2 = \frac{18}{7}$。

3. 最終的な答え

(1)

均衡価格 P* = 6

取引量 Q* = 6

消費者余剰 = 36

生産者余剰 = 18

(2)

独占企業の供給量 Qm = 18/5

利潤 = 162/5

(3)

各企業の均衡供給量 q1 = q2 = 18/7