傾き$\theta$の斜面上に、質量$m$、直径$a$の円柱を置く。静かに離すと、円柱は滑らずに転がり落ちる。円柱を離した瞬間を時刻$t=0$とし、その位置からの斜面に沿った移動距離を$x$とする。$x$と$t$の関係を求める。

1. 問題の内容

傾き$\theta$の斜面上に、質量$m$、直径$a$の円柱を置く。静かに離すと、円柱は滑らずに転がり落ちる。円柱を離した瞬間を時刻$t=0$とし、その位置からの斜面に沿った移動距離を$x$とする。$x$と$t$の関係を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円柱の慣性モーメント$I$を求める。円柱の慣性モーメントは$I = \frac{1}{2}mr^2$で与えられる。円柱の半径$r$は$\frac{a}{2}$であるから、$I = \frac{1}{2}m(\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{8}ma^2$となる。

(2) 円柱にはたらく力を考える。斜面下向きに重力の斜面方向成分$mg\sin\theta$がはたらき、これが円柱を転がすトルクを生み出す。このトルク$\tau$は、円柱の中心周りのモーメントとして計算できる。斜面と円柱の接点にはたらく静止摩擦力を$f$とすると、トルクは$\tau = f \cdot r = f \cdot \frac{a}{2}$となる。

(3) 円柱の回転運動の運動方程式を立てる。トルクと角加速度$\alpha$の関係は$\tau = I \alpha$で与えられる。したがって、$f \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{8}ma^2 \alpha$より、$f = \frac{1}{4}ma\alpha$となる。

(4) 円柱の並進運動の運動方程式を立てる。斜面下向きの運動方程式は、$ma = mg\sin\theta - f$となる。

(5) 角加速度$\alpha$と並進加速度$a$の関係を求める。滑らずに転がる条件より、$a = r\alpha = \frac{a}{2}\alpha$。したがって、$\alpha = \frac{2a}{a} = \frac{2}{a}a$となる。

(6) 上記の関係式を連立して解く。

まず、(3)で求めた$f = \frac{1}{4}ma\alpha$に$\alpha = \frac{2}{a}a$を代入すると、$f = \frac{1}{4}ma(\frac{2}{a}a) = \frac{1}{2}ma$となる。

次に、(4)の運動方程式$ma = mg\sin\theta - f$に$f = \frac{1}{2}ma$を代入すると、$ma = mg\sin\theta - \frac{1}{2}ma$となる。

これを$a$について解くと、$\frac{3}{2}ma = mg\sin\theta$より、$a = \frac{2}{3}g\sin\theta$となる。

(7) 移動距離$x$を求める。等加速度運動の式より、$x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$。初期速度$v_0 = 0$なので、$x = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3}g\sin\theta) t^2 = \frac{1}{3}g\sin\theta t^2$となる。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{3}g\sin\theta t^2$