限界代替率 (MRS) を計算する問題です。与えられた式は以下です。 $MRS = \frac{\frac{1}{2} (\frac{y}{x})^{\frac{1}{2}}}{\frac{3}{2} (\frac{y}{x})^{-\frac{1}{2}}}$ これを簡略化し、その結果が$MRS = \frac{y}{2} - \frac{y}{2x}$ となっているかを検証します。

以下のように解答します。

1. 問題の内容

限界代替率 (MRS) を計算する問題です。与えられた式は以下です。

$MRS = \frac{\frac{1}{2} (\frac{y}{x})^{\frac{1}{2}}}{\frac{3}{2} (\frac{y}{x})^{-\frac{1}{2}}}$

これを簡略化し、その結果が$MRS = \frac{y}{2} - \frac{y}{2x}$ となっているかを検証します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を簡略化します。

$MRS = \frac{\frac{1}{2} (\frac{y}{x})^{\frac{1}{2}}}{\frac{3}{2} (\frac{y}{x})^{-\frac{1}{2}}}$

分母と分子の $\frac{1}{2}$ を相殺します。

$MRS = \frac{(\frac{y}{x})^{\frac{1}{2}}}{3 (\frac{y}{x})^{-\frac{1}{2}}}$

指数法則を使って、$(\frac{y}{x})^{-\frac{1}{2}}$ を $(\frac{x}{y})^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$MRS = \frac{(\frac{y}{x})^{\frac{1}{2}}}{3 (\frac{x}{y})^{\frac{1}{2}}}$

$MRS = \frac{1}{3} \cdot \frac{(\frac{y}{x})^{\frac{1}{2}}}{(\frac{x}{y})^{\frac{1}{2}}}$

$MRS = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{\frac{y}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{y}}}$

$MRS = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}}$

$MRS = \frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x}$

したがって、

$MRS = \frac{y}{3x}$

問題文に示された解は $MRS = \frac{y}{2} - \frac{y}{2x}$ です。

計算した結果は $MRS = \frac{y}{3x}$ です。

3. 最終的な答え

与えられた式を簡略化した結果は $MRS = \frac{y}{3x}$ であり、与えられた解 $MRS = \frac{y}{2} - \frac{y}{2x}$ と一致しません。

したがって、与えられた簡略化は誤りです。

最終的な答え: $MRS = \frac{y}{3x}$