中心に固定された電荷からのクーロン力によって質点 $m$ が円運動をしている。クーロン力と遠心力の釣り合い $\frac{kqQ}{R^2} = mR\omega^2$ が成り立っている。中心電荷 $Q$ が $Q_0$ から $Q' = \frac{Q_0}{\sqrt{2}}$ に変化したとき、最終的な角速度 $\omega'$ を初期の角速度 $\omega_0$ で表せ。

1. 問題の内容

中心に固定された電荷からのクーロン力によって質点 $m$ が円運動をしている。クーロン力と遠心力の釣り合い $\frac{kqQ}{R^2} = mR\omega^2$ が成り立っている。中心電荷 $Q$ が $Q_0$ から $Q' = \frac{Q_0}{\sqrt{2}}$ に変化したとき、最終的な角速度 $\omega'$ を初期の角速度 $\omega_0$ で表せ。

2. 解き方の手順

働く力が常に中心力であるため、角運動量保存則が成り立つ。角運動量 $L$ は $L=I\omega=mr^2\omega$ で与えられる。

初期状態では、

$L_0 = mR_0^2 \omega_0$

最終状態では、

$L' = mR'^2 \omega'$

角運動量保存則より、$L_0 = L'$。従って、

$mR_0^2 \omega_0 = mR'^2 \omega'$

$R_0^2 \omega_0 = R'^2 \omega'$

クーロン力と遠心力の釣り合いより、初期状態では

$\frac{kQqQ_0}{R_0^2} = mR_0 \omega_0^2$

$R_0^3 = \frac{kQqQ_0}{m\omega_0^2}$

最終状態では

$\frac{kQqQ'}{R'^2} = mR' \omega'^2$

$Q' = \frac{Q_0}{\sqrt{2}}$ なので

$\frac{kQqQ_0}{R'^2\sqrt{2}} = mR' \omega'^2$

$R'^3 = \frac{kQqQ_0}{m\omega'^2 \sqrt{2}}$

$R'^3 = \frac{R_0^3\omega_0^2}{\sqrt{2}\omega'^2}$

$R' = \frac{R_0 (\omega_0)^{2/3}}{(\sqrt{2})^{1/3} (\omega')^{2/3}}$

$R_0^2\omega_0 = R'^2 \omega' = \frac{R_0^2 \omega_0^{4/3}}{(\sqrt{2})^{2/3}(\omega')^{4/3}} \omega'$

$\omega_0 = \frac{ \omega_0^{4/3}}{(\sqrt{2})^{2/3}(\omega')^{1/3}}$

$(\sqrt{2})^{2/3} \omega_0 (\omega')^{1/3} = \omega_0^{4/3}$

$(\omega')^{1/3} = \frac{\omega_0^{4/3}}{\omega_0 (\sqrt{2})^{2/3}} = \frac{\omega_0^{1/3}}{(\sqrt{2})^{2/3}}$

$\omega' = \frac{\omega_0}{2}$

3. 最終的な答え

$\omega' = \frac{\omega_0}{2}$