万有引力で引き合う2つの星に関する問題です。万有引力定数を$G$とし、以下の問いに答えます。 (1) 星1と星2の質量をそれぞれ$m$、$3m$、位置ベクトルをそれぞれ$\vec{r_1}$、$\vec{r_2}$とします。重心のおおよその位置を図示し、重心の位置ベクトル$\vec{r_G}$を求めます。 (2) 星1が星2に及ぼす力を$\vec{F_{12}}$、星2が星1に及ぼす力を$\vec{F_{21}}$とします。星1と星2の間の距離を$r$としたとき、それぞれの力の大きさ$|\vec{F_{12}}|$、$|\vec{F_{21}}|$および$\vec{F_{12}} + \vec{F_{21}}$を求めます。

1. 問題の内容

万有引力で引き合う2つの星に関する問題です。万有引力定数を$G$とし、以下の問いに答えます。

(1) 星1と星2の質量をそれぞれ$m$、$3m$、位置ベクトルをそれぞれ$\vec{r_1}$、$\vec{r_2}$とします。重心のおおよその位置を図示し、重心の位置ベクトル$\vec{r_G}$を求めます。

(2) 星1が星2に及ぼす力を$\vec{F_{12}}$、星2が星1に及ぼす力を$\vec{F_{21}}$とします。星1と星2の間の距離を$r$としたとき、それぞれの力の大きさ$|\vec{F_{12}}|$、$|\vec{F_{21}}|$および$\vec{F_{12}} + \vec{F_{21}}$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 重心の位置ベクトル$\vec{r_G}$は、各質量の位置ベクトルに質量をかけて足し合わせ、全体の質量で割ることで求められます。

$\vec{r_G} = \frac{m\vec{r_1} + 3m\vec{r_2}}{m+3m}$

$\vec{r_G} = \frac{m\vec{r_1} + 3m\vec{r_2}}{4m}$

$\vec{r_G} = \frac{\vec{r_1} + 3\vec{r_2}}{4}$

$\vec{r_G} = \frac{1}{4}(\vec{r_1} + 3\vec{r_2})$

重心の位置は、星1から星2に向かって、星1と星2の間の距離の3/4の位置になります。

(2) 星1が星2に及ぼす力$\vec{F_{12}}$の大きさ$|\vec{F_{12}}|$と、星2が星1に及ぼす力$\vec{F_{21}}$の大きさ$|\vec{F_{21}}|$は、万有引力の法則によって求められます。

$|\vec{F_{12}}| = G\frac{m(3m)}{r^2} = \frac{3Gm^2}{r^2}$

$|\vec{F_{21}}| = G\frac{(3m)m}{r^2} = \frac{3Gm^2}{r^2}$

$\vec{F_{12}}$と$\vec{F_{21}}$は作用反作用の関係にあるため、向きが反対で大きさが等しくなります。したがって、

$\vec{F_{12}} + \vec{F_{21}} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 重心の位置ベクトル: $\vec{r_G} = \frac{1}{4}(\vec{r_1} + 3\vec{r_2})$

(2) 力の大きさ:

$|\vec{F_{12}}| = \frac{3Gm^2}{r^2}$

$|\vec{F_{21}}| = \frac{3Gm^2}{r^2}$

$\vec{F_{12}} + \vec{F_{21}} = 0$