質量 $m_0$ の質点が速度 $v_0$ で、静止している質量 $m$ の2つの質点(ばね定数 $k$ のばねでつながれている)に衝突する。この衝突は完全弾性衝突である。衝突後の運動について、重心の速度、換算質量、相対運動の運動方程式を求める。

1. 問題の内容

質量 $m_0$ の質点が速度 $v_0$ で、静止している質量 $m$ の2つの質点(ばね定数 $k$ のばねでつながれている)に衝突する。この衝突は完全弾性衝突である。衝突後の運動について、重心の速度、換算質量、相対運動の運動方程式を求める。

2. 解き方の手順

A. 衝突前と直後で保存される量は、運動量と運動エネルギー。

B. 運動量保存則と運動エネルギー保存則の式を書く。

運動量保存則:

$m_0 v_0 = m_0 v_0' + mv$

運動エネルギー保存則:

$\frac{1}{2} m_0 v_0^2 = \frac{1}{2} m_0 v_0'^2 + \frac{1}{2} mv^2$

C. 衝突直後の質点1の速度 $v_0'$ と質点2の速度 $v$ を計算する。

与えられた式:

$v_0' = \frac{m_0 - m}{m_0 + m} v_0$

$v = \frac{2m_0}{m_0 + m} v_0$

D. 衝突直後の質点系2-3の重心の速度 $V$ を計算する。

与えられた式から:

$V = \frac{v}{2} = \frac{m_0}{m_0 + m} v_0$

E. 衝突後の質点系2-3の重心の運動を述べる。

$V$ が一定なので、重心は等速直線運動をする。

F. 衝突後の質点2-3の相対運動について、換算質量 $\mu$ を計算する。

$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m} + \frac{1}{m}$

$\mu = \frac{m}{2}$

G. 相対座標 $x = x_3 - x_2$ を用いて、相対運動の運動方程式を書く。

$\frac{m}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} = -k(x - l)$

3. 最終的な答え

A. 運動量, 運動エネルギー

B. 運動量保存則: $m_0 v_0 = m_0 v_0' + mv$

運動エネルギー保存則: $\frac{1}{2} m_0 v_0^2 = \frac{1}{2} m_0 v_0'^2 + \frac{1}{2} mv^2$

C. $v_0' = \frac{m_0 - m}{m_0 + m} v_0$, $v = \frac{2m_0}{m_0 + m} v_0$

D. $V = \frac{m_0}{m_0 + m} v_0$

E. 等速直線運動

F. $\mu = \frac{m}{2}$

G. $\frac{m}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} = -k(x - l)$