質量 $m_0$ の物体1が速度 $v_0$ で、静止している質量 $m$ の物体2に衝突する。衝突後、物体1の速度を $v_0'$、物体2の速度を $v$ とする。運動量保存則と運動エネルギー保存則を用いて、$v_0'$ と $v$ を求める。与えられた式は以下の通りである。 運動量保存則： $m_0v_0 = m_0v_0' + mv$ 運動エネルギー保存則： $\frac{1}{2}m_0v_0^2 = \frac{1}{2}m_0v_0'^2 + \frac{1}{2}mv^2$

1. 問題の内容

質量 $m_0$ の物体1が速度 $v_0$ で、静止している質量 $m$ の物体2に衝突する。衝突後、物体1の速度を $v_0'$、物体2の速度を $v$ とする。運動量保存則と運動エネルギー保存則を用いて、$v_0'$ と $v$ を求める。与えられた式は以下の通りである。

運動量保存則：

$m_0v_0 = m_0v_0' + mv$

運動エネルギー保存則：

$\frac{1}{2}m_0v_0^2 = \frac{1}{2}m_0v_0'^2 + \frac{1}{2}mv^2$

2. 解き方の手順

まず、運動量保存則から $v$ について解く。

$m_0v_0 = m_0v_0' + mv$

$mv = m_0v_0 - m_0v_0'$

$v = \frac{m_0}{m}(v_0 - v_0')$

次に、この結果を運動エネルギー保存則に代入する。

$\frac{1}{2}m_0v_0^2 = \frac{1}{2}m_0v_0'^2 + \frac{1}{2}m(\frac{m_0}{m}(v_0 - v_0'))^2$

両辺に2をかけて整理する。

$m_0v_0^2 = m_0v_0'^2 + m(\frac{m_0^2}{m^2}(v_0 - v_0')^2)$

$m_0v_0^2 = m_0v_0'^2 + \frac{m_0^2}{m}(v_0^2 - 2v_0v_0' + v_0'^2)$

両辺を $m_0$ で割る。

$v_0^2 = v_0'^2 + \frac{m_0}{m}(v_0^2 - 2v_0v_0' + v_0'^2)$

ここで、$x = \frac{m_0}{m}$ と置くと

$v_0^2 = v_0'^2 + x(v_0^2 - 2v_0v_0' + v_0'^2)$

$v_0^2 = v_0'^2 + xv_0^2 - 2xv_0v_0' + xv_0'^2$

$(1-x)v_0^2 = (1+x)v_0'^2 - 2xv_0v_0'$

$(1+x)v_0'^2 - 2xv_0v_0' - (1-x)v_0^2 = 0$

これは $v_0'$ に関する二次方程式である。解の公式を用いて $v_0'$ を求める。

$v_0' = \frac{2xv_0 \pm \sqrt{4x^2v_0^2 + 4(1+x)(1-x)v_0^2}}{2(1+x)}$

$v_0' = \frac{2xv_0 \pm \sqrt{4x^2v_0^2 + 4(1-x^2)v_0^2}}{2(1+x)}$

$v_0' = \frac{2xv_0 \pm \sqrt{4v_0^2}}{2(1+x)}$

$v_0' = \frac{2xv_0 \pm 2v_0}{2(1+x)}$

$v_0' = \frac{xv_0 \pm v_0}{1+x}$

$v_0' = \frac{x \pm 1}{x+1} v_0$

衝突後も物体1が元の方向に進む場合、$v_0' = v_0$ となるが、これは明らかにおかしいので、マイナスの解を採用する。

$v_0' = \frac{x-1}{x+1}v_0 = \frac{\frac{m_0}{m}-1}{\frac{m_0}{m}+1}v_0 = \frac{m_0-m}{m_0+m}v_0$

次に、$v$ を求める。

$v = \frac{m_0}{m}(v_0 - v_0') = \frac{m_0}{m}(v_0 - \frac{m_0-m}{m_0+m}v_0) = \frac{m_0}{m}\frac{m_0+m-m_0+m}{m_0+m}v_0 = \frac{m_0}{m}\frac{2m}{m_0+m}v_0 = \frac{2m_0}{m_0+m}v_0$

3. 最終的な答え

$v_0' = \frac{m_0 - m}{m_0 + m}v_0$

$v = \frac{2m_0}{m_0 + m}v_0$