三次元空間でのポテンシャル $U(x, y, z) = \frac{Kx}{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられています。ここで、$K$ は正の定数です。力の $x$ 成分 $F_x$ を計算します。

1. 問題の内容

三次元空間でのポテンシャル $U(x, y, z) = \frac{Kx}{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられています。ここで、$K$ は正の定数です。力の $x$ 成分 $F_x$ を計算します。

2. 解き方の手順

力はポテンシャルの負の勾配で与えられます。つまり、

$$\vec{F} = -\nabla U$$

$x$ 成分 $F_x$ は、ポテンシャル $U$ の $x$ に関する偏微分に負の符号をつけたものとして計算できます。

$$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}$$

与えられたポテンシャル $U(x, y, z) = \frac{Kx}{x^2 + y^2 + z^2}$ を $x$ で偏微分します。

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{Kx}{x^2 + y^2 + z^2} \right)$$

分数の微分を行うために、商の微分公式を使います。商の微分公式は $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。ここで、 $u = Kx$ 、 $v = x^2 + y^2 + z^2$ とします。

すると、$u' = K$ 、 $v' = 2x$ となります。

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{K(x^2 + y^2 + z^2) - Kx(2x)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2} = \frac{K(x^2 + y^2 + z^2 - 2x^2)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}$$

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{K(y^2 + z^2 - x^2)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}$$

したがって、$F_x$ は、

$$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{K(y^2 + z^2 - x^2)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}$$

$$F_x = \frac{K(x^2 - y^2 - z^2)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}$$

3. 最終的な答え

$$F_x = \frac{K(x^2 - y^2 - z^2)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}$$