与えられたIS-LMモデルにおける均衡GDP（$Y$）と均衡利子率（$r$）を求める問題です。 モデルは以下の通りです。 * 消費関数: $C(Y) = 20 + 0.6Y$ * 投資関数: $I(r) = 50 - 30r$ * 政府支出: $G = 50$ * 貨幣需要関数: $L(r, Y) = 0.4Y - 20r + 30$ * 貨幣供給量: $M^s = 100$ * 物価水準: $P = 2$

1. 問題の内容

与えられたIS-LMモデルにおける均衡GDP（$Y$）と均衡利子率（$r$）を求める問題です。

モデルは以下の通りです。

* 消費関数: $C(Y) = 20 + 0.6Y$

* 投資関数: $I(r) = 50 - 30r$

* 政府支出: $G = 50$

* 貨幣需要関数: $L(r, Y) = 0.4Y - 20r + 30$

* 貨幣供給量: $M^s = 100$

* 物価水準: $P = 2$

2. 解き方の手順

まず、IS曲線とLM曲線を導出します。

* IS曲線:

総供給$Y$と総需要の均衡条件は、

$Y = C(Y) + I(r) + G$

与えられた関数を代入すると、

$Y = 20 + 0.6Y + 50 - 30r + 50$

整理すると、

$0.4Y = 120 - 30r$

$Y = 300 - 75r$ これがIS曲線です。

* LM曲線:

貨幣市場の均衡条件は、

$M^s / P = L(r, Y)$

与えられた関数を代入すると、

$100 / 2 = 0.4Y - 20r + 30$

$50 = 0.4Y - 20r + 30$

整理すると、

$0.4Y = 20r + 20$

$Y = 50r + 50$ これがLM曲線です。

次に、IS曲線とLM曲線の連立方程式を解いて、均衡GDP（$Y$）と均衡利子率（$r$）を求めます。

$Y = 300 - 75r$

$Y = 50r + 50$

したがって、

$300 - 75r = 50r + 50$

$250 = 125r$

$r = 2$

$r = 2$をLM曲線に代入すると、

$Y = 50 * 2 + 50$

$Y = 100 + 50$

$Y = 150$

3. 最終的な答え

均衡GDP（$Y$）は150、均衡利子率（$r$）は2です。

$Y = 150$

$r = 2$