ベクトル関数 $A = ti - 4t^3j + t^2k$ と $B = 2ti + t^2j$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (a) $\frac{d(A \cdot B)}{dt}$ を求める。 (b) $\int_{1}^{4} B dt$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル関数 $A = ti - 4t^3j + t^2k$ と $B = 2ti + t^2j$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(a) $\frac{d(A \cdot B)}{dt}$ を求める。

(b) $\int_{1}^{4} B dt$ を求める。

2. 解き方の手順

(a) $\frac{d(A \cdot B)}{dt}$ を求める。

まず、$A \cdot B$ を計算する。

$A \cdot B = (ti - 4t^3j + t^2k) \cdot (2ti + t^2j) = t(2t) + (-4t^3)(t^2) + t^2(0) = 2t^2 - 4t^5$

次に、これを $t$ で微分する。

$\frac{d(A \cdot B)}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 - 4t^5) = 4t - 20t^4$

(b) $\int_{1}^{4} B dt$ を求める。

$B = 2ti + t^2j$ なので、

$\int_{1}^{4} B dt = \int_{1}^{4} (2ti + t^2j) dt = \int_{1}^{4} 2t dt \ i + \int_{1}^{4} t^2 dt \ j$

$\int_{1}^{4} 2t dt = [t^2]_{1}^{4} = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15$

$\int_{1}^{4} t^2 dt = [\frac{1}{3}t^3]_{1}^{4} = \frac{1}{3}(4^3 - 1^3) = \frac{1}{3}(64 - 1) = \frac{63}{3} = 21$

したがって、

$\int_{1}^{4} B dt = 15i + 21j$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{d(A \cdot B)}{dt} = 4t - 20t^4$

(b) $\int_{1}^{4} B dt = 15i + 21j$