与えられた偏微分方程式 $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - 9 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0$ の解 $y(x,t)$ を、初期条件 $y(x,0) = \sin(2x)$ および $\frac{\partial y}{\partial t}(x,0) = \cos(x)$ の下で求める。

1. 問題の内容

与えられた偏微分方程式

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - 9 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0$

の解 $y(x,t)$ を、初期条件 $y(x,0) = \sin(2x)$ および $\frac{\partial y}{\partial t}(x,0) = \cos(x)$ の下で求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた偏微分方程式は波動方程式である。波動方程式の一般解はd'Alembertの解として知られており、

$y(x,t) = f(x+3t) + g(x-3t)$

と表される。ここで、$f$ と $g$ は任意の関数である。

次に、初期条件を適用する。まず、$t=0$ のとき $y(x,0) = \sin(2x)$ であるから、

$y(x,0) = f(x) + g(x) = \sin(2x)$

次に、$\frac{\partial y}{\partial t}$ を計算する。

$\frac{\partial y}{\partial t} = 3f'(x+3t) - 3g'(x-3t)$

$t=0$ のとき、$\frac{\partial y}{\partial t}(x,0) = \cos(x)$ であるから、

$\frac{\partial y}{\partial t}(x,0) = 3f'(x) - 3g'(x) = \cos(x)$

すなわち、

$f'(x) - g'(x) = \frac{1}{3}\cos(x)$

これを積分すると

$f(x) - g(x) = \frac{1}{3}\sin(x) + C$

ここで、$C$は積分定数である。

$f(x) + g(x) = \sin(2x)$ と $f(x) - g(x) = \frac{1}{3}\sin(x) + C$ を連立させて $f(x)$ と $g(x)$ を求める。

$2f(x) = \sin(2x) + \frac{1}{3}\sin(x) + C$

$f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{6}\sin(x) + \frac{C}{2}$

$2g(x) = \sin(2x) - \frac{1}{3}\sin(x) - C$

$g(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{6}\sin(x) - \frac{C}{2}$

$y(x,t) = f(x+3t) + g(x-3t) = \frac{1}{2}\sin(2(x+3t)) + \frac{1}{6}\sin(x+3t) + \frac{C}{2} + \frac{1}{2}\sin(2(x-3t)) - \frac{1}{6}\sin(x-3t) - \frac{C}{2}$

$y(x,t) = \frac{1}{2}(\sin(2(x+3t)) + \sin(2(x-3t))) + \frac{1}{6}(\sin(x+3t) - \sin(x-3t))$

三角関数の和と差の公式を用いると、

$\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin(A)\cos(B)$

$\sin(A+B) - \sin(A-B) = 2\cos(A)\sin(B)$

より、

$y(x,t) = \frac{1}{2}(2\sin(2x)\cos(6t)) + \frac{1}{6}(2\cos(x)\sin(3t))$

$y(x,t) = \sin(2x)\cos(6t) + \frac{1}{3}\cos(x)\sin(3t)$

3. 最終的な答え

$y(x,t) = \sin(2x)\cos(6t) + \frac{1}{3}\cos(x)\sin(3t)$