高さ $h$ [m] のビルの上から、角度 $\theta$ の方向に初速度 $v_0$ [m/s] で質量 $m$ [kg] の小球を投げた。点Oを原点として、図のように $x$ 座標、$y$ 座標をとり、投げた時刻を $t = 0$ 秒、重力加速度を $g$ [m/s$^2$] とする。 (1) $x$ 方向の速度を $v_x(t)$、$y$ 方向の速度を $v_y(t)$ として、$x$ 方向、$y$ 方向の運動方程式を書け。 (2) 運動方程式を解いて、時刻 $t$ のときの小球の速度 $v_x(t)$、$v_y(t)$ を求めよ。 (3) (2) の結果より、時刻 $t$ のときの小球の位置 $x(t)$、$y(t)$ を求めよ。 (4) 小球が最高点に達する時間と地上から最高点までの高さを求めよ。 (5) 最高点での小球の速さを求めよ。 (6) 小球が地上に落下する時間を求めよ。 (7) 質量 $2m$ [kg] の小球を同じ初速度 $v_0$ [m/s] で同じ方向に投げると、地上に達するまでの時間はどのようになるか。

1. 問題の内容

高さ $h$ [m] のビルの上から、角度 $\theta$ の方向に初速度 $v_0$ [m/s] で質量 $m$ [kg] の小球を投げた。点Oを原点として、図のように $x$ 座標、$y$ 座標をとり、投げた時刻を $t = 0$ 秒、重力加速度を $g$ [m/s$^2$] とする。

(1) $x$ 方向の速度を $v_x(t)$、$y$ 方向の速度を $v_y(t)$ として、$x$ 方向、$y$ 方向の運動方程式を書け。

(2) 運動方程式を解いて、時刻 $t$ のときの小球の速度 $v_x(t)$、$v_y(t)$ を求めよ。

(3) (2) の結果より、時刻 $t$ のときの小球の位置 $x(t)$、$y(t)$ を求めよ。

(4) 小球が最高点に達する時間と地上から最高点までの高さを求めよ。

(5) 最高点での小球の速さを求めよ。

(6) 小球が地上に落下する時間を求めよ。

(7) 質量 $2m$ [kg] の小球を同じ初速度 $v_0$ [m/s] で同じ方向に投げると、地上に達するまでの時間はどのようになるか。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式

$x$ 方向には力が働かないので、運動方程式は

$m \frac{dv_x}{dt} = 0$

$y$ 方向には重力が働くので、運動方程式は

$m \frac{dv_y}{dt} = -mg$

(2) 速度

$x$ 方向の速度は時間によらず一定である。初期条件 $v_x(0) = v_0 \cos \theta$ より

$v_x(t) = v_0 \cos \theta$

$y$ 方向の速度は、運動方程式を積分して

$v_y(t) = -gt + C$

初期条件 $v_y(0) = v_0 \sin \theta$ より $C = v_0 \sin \theta$ なので

$v_y(t) = -gt + v_0 \sin \theta$

(3) 位置

$x$ 方向の位置は、速度を積分して

$x(t) = \int v_x(t) dt = \int v_0 \cos \theta dt = (v_0 \cos \theta) t + C_1$

初期条件 $x(0) = 0$ より $C_1 = 0$ なので

$x(t) = (v_0 \cos \theta) t$

$y$ 方向の位置は、速度を積分して

$y(t) = \int v_y(t) dt = \int (-gt + v_0 \sin \theta) dt = -\frac{1}{2} g t^2 + (v_0 \sin \theta) t + C_2$

初期条件 $y(0) = h$ より $C_2 = h$ なので

$y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + (v_0 \sin \theta) t + h$

(4) 最高点に達する時間と高さ

最高点では $v_y(t) = 0$ なので

$-gt + v_0 \sin \theta = 0$

$t = \frac{v_0 \sin \theta}{g}$

最高点の高さは

$y(\frac{v_0 \sin \theta}{g}) = -\frac{1}{2} g (\frac{v_0 \sin \theta}{g})^2 + v_0 \sin \theta (\frac{v_0 \sin \theta}{g}) + h = -\frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{g} + \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{g} + h = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} + h$

(5) 最高点での速さ

最高点では $v_y(t) = 0$ であり、$v_x(t) = v_0 \cos \theta$ であるから、速さは

$v = v_x(t) = v_0 \cos \theta$

(6) 地上に落下する時間

地上に落下する時間は $y(t) = 0$ となる $t$ を求める。

$-\frac{1}{2} g t^2 + (v_0 \sin \theta) t + h = 0$

$gt^2 - 2(v_0 \sin \theta) t - 2h = 0$

$t = \frac{2v_0 \sin \theta \pm \sqrt{4v_0^2 \sin^2 \theta + 8gh}}{2g} = \frac{v_0 \sin \theta \pm \sqrt{v_0^2 \sin^2 \theta + 2gh}}{g}$

$t > 0$ なので

$t = \frac{v_0 \sin \theta + \sqrt{v_0^2 \sin^2 \theta + 2gh}}{g}$

(7) 質量が $2m$ の場合

質量が $2m$ になっても、運動方程式は

$2m \frac{dv_x}{dt} = 0$

$2m \frac{dv_y}{dt} = -2mg$

となり、質量 $m$ のときと同様に計算できる。したがって、地上に落下するまでの時間は変わらない。

3. 最終的な答え

(1) $m \frac{dv_x}{dt} = 0$, $m \frac{dv_y}{dt} = -mg$

(2) $v_x(t) = v_0 \cos \theta$, $v_y(t) = -gt + v_0 \sin \theta$

(3) $x(t) = (v_0 \cos \theta) t$, $y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + (v_0 \sin \theta) t + h$

(4) 最高点に達する時間: $\frac{v_0 \sin \theta}{g}$, 地上から最高点までの高さ: $\frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} + h$

(5) 最高点での速さ: $v_0 \cos \theta$

(6) 地上に落下する時間: $\frac{v_0 \sin \theta + \sqrt{v_0^2 \sin^2 \theta + 2gh}}{g}$

(7) 地上に達するまでの時間は変わらない。