ベクトル関数 $H$ と $U$ が与えられたとき、それらの和のdiv、つまり $\text{div}(H+U)$ を計算する問題です。 ここで、$H = x^3y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}$ 、$U = xy\mathbf{i} + yz^2\mathbf{k}$ です。

1. 問題の内容

ベクトル関数 $H$ と $U$ が与えられたとき、それらの和のdiv、つまり $\text{div}(H+U)$ を計算する問題です。

ここで、$H = x^3y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}$ 、$U = xy\mathbf{i} + yz^2\mathbf{k}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$H+U$ を計算します。

$H+U = xy\mathbf{i} + x^3y\mathbf{j} + (2z+yz^2)\mathbf{k}$

次に、$H+U$ のdivergenceを計算します。 divergence は、

$\text{div}(F) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

で与えられます。ここで、$F = F_x \mathbf{i} + F_y \mathbf{j} + F_z \mathbf{k}$ です。

したがって、

$\text{div}(H+U) = \frac{\partial (xy)}{\partial x} + \frac{\partial (x^3y)}{\partial y} + \frac{\partial (2z+yz^2)}{\partial z}$

それぞれの偏微分を計算します。

$\frac{\partial (xy)}{\partial x} = y$

$\frac{\partial (x^3y)}{\partial y} = x^3$

$\frac{\partial (2z+yz^2)}{\partial z} = 2 + 2yz$

したがって、

$\text{div}(H+U) = y + x^3 + 2 + 2yz$

3. 最終的な答え

$\text{div}(H+U) = x^3 + y + 2yz + 2$