回路におけるアドミタンスと電圧を求める問題です。 抵抗 $Z_1 = \frac{1}{25} - j\frac{2}{25} [\Omega]$ とアドミタンス $Y_2 = 10 + j5 [S]$ が並列に接続されています。角周波数 $\omega = 100 [rad/s]$ のとき、端子a-b間のアドミタンス $Y$ の複素数表示と極表示、および端子a-b間に電流 $I = 30\sqrt{2} \angle 15^\circ [A]$ が流れるときの電圧 $V$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

回路におけるアドミタンスと電圧を求める問題です。

抵抗 $Z_1 = \frac{1}{25} - j\frac{2}{25} [\Omega]$ とアドミタンス $Y_2 = 10 + j5 [S]$ が並列に接続されています。角周波数 $\omega = 100 [rad/s]$ のとき、端子a-b間のアドミタンス $Y$ の複素数表示と極表示、および端子a-b間に電流 $I = 30\sqrt{2} \angle 15^\circ [A]$ が流れるときの電圧 $V$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 並列アドミタンスの計算

並列接続されたアドミタンスの合成アドミタンスは、それぞれの和で求められます。まず $Z_1$ のアドミタンス $Y_1$ を計算します。

$Y_1 = \frac{1}{Z_1} = \frac{1}{\frac{1}{25} - j\frac{2}{25}} = \frac{25}{1 - 2j} = \frac{25(1+2j)}{(1-2j)(1+2j)} = \frac{25(1+2j)}{1+4} = \frac{25(1+2j)}{5} = 5 + j10 [S]$

次に、$Y_1$ と $Y_2$ の和を計算して、回路全体のアドミタンス $Y$ を求めます。

$Y = Y_1 + Y_2 = (5 + j10) + (10 + j5) = 15 + j15 [S]$

(2) アドミタンスの極表示への変換

複素数 $Y = 15 + j15$ の絶対値 $|Y|$ と偏角 $\theta$ を求めます。

$|Y| = \sqrt{15^2 + 15^2} = \sqrt{225 + 225} = \sqrt{450} = 15\sqrt{2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{15}{15}\right) = \arctan(1) = 45^\circ$

したがって、アドミタンスの極表示は $Y = 15\sqrt{2} \angle 45^\circ [S]$ となります。

(3) 電圧の計算

オームの法則 $V = \frac{I}{Y}$ を用いて、端子a-b間の電圧 $V$ を計算します。

$V = \frac{30\sqrt{2} \angle 15^\circ}{15\sqrt{2} \angle 45^\circ} = \frac{30\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} \angle (15^\circ - 45^\circ) = 2 \angle -30^\circ [V]$

3. 最終的な答え

* アドミタンスの複素数表示: $15 + j15 [S]$

* アドミタンスの極表示: $15\sqrt{2} \angle 45^\circ [S]$

* 電圧: $2 \angle -30^\circ [V]$