$\sqrt{2}$ が無理数であることを利用して、$3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する問題です。空欄「カ」「キ」「ク」に当てはまる選択肢を選びます。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを利用して、$3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する問題です。空欄「カ」「キ」「ク」に当てはまる選択肢を選びます。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

1. $3\sqrt{2}$が無理数でないと仮定します。つまり、$3\sqrt{2}$は有理数であると仮定します。（「カ」の選択肢は①有理数）

2. ある有理数 $r$ を用いて、$3\sqrt{2} = r$ と表すことができます。

3. この式を変形して、$\sqrt{2}$ の形にします。両辺を3で割ると、

$$\sqrt{2} = \frac{r}{3}$$

（「キ」の選択肢は③ $\frac{r}{3}$）

4. $r$ が有理数であると仮定したので、$\frac{r}{3}$ も有理数です。

5. したがって、$\sqrt{2}$ が有理数であることになり、$\sqrt{2}$ が無理数であるという事実に矛盾します。（「ク」の選択肢は①有理数）

6. よって、$3\sqrt{2}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

カ：① 有理数

キ：③ $\frac{r}{3}$

ク：① 有理数