与えられた3つの数、$\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, および $3$ の大小関係を不等号を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの数、$\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, および $3$ の大小関係を不等号を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

3つの数を比較するために、すべて同じ指数を持つ累乗根の形に変形します。

まず、3つの数をそれぞれ累乗根の形で表現します。

- $\sqrt[6]{243}$

- $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4}$

- $3 = \sqrt[6]{3^6}$

次に、$\sqrt[3]{81}$ を $\sqrt[6]{\cdots}$ の形に変換します。$\sqrt[3]{81}$ は $\sqrt[3]{3^4}$ と表せるので、

$\sqrt[3]{3^4} = \sqrt[6]{(3^4)^2} = \sqrt[6]{3^8}$

となります。

したがって、3つの数はそれぞれ

$\sqrt[6]{243} = \sqrt[6]{3^5}$

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[6]{3^8}$

$3 = \sqrt[6]{3^6}$

と表せます。

これらの数の大小を比較するには、$3^5$, $3^8$, $3^6$ の大小を比較すればよいです。

$3^5 = 243$

$3^6 = 729$

$3^8 = 6561$

したがって、$3^5 < 3^6 < 3^8$ となります。

よって、

$\sqrt[6]{3^5} < \sqrt[6]{3^6} < \sqrt[6]{3^8}$

すなわち、

$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$

となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$