放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ を $G$ とし、直線 $y = x - \frac{1}{2}$ を $l$ とする。 問1: $G$ と $l$ の接点の座標を求め、直線 $l$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した直線を $m$ とするとき、$m$ の方程式を求める。$m$ と $G$ の交点 $B$, $C$ の座標を求め、$\angle ABC$ の大きさと $\triangle ABC$ の面積を求める。 問2: 直線 $l$ を $x$ 軸方向に $-6$ だけ平行移動した直線を $n$ とするとき、$n$ の方程式を求める。放物線 $H: y = ax^2 + bx + c$ が 2 点 $B$, $C$ で直線 $m$ と交わるとき、$ax^2 + bx + c - (x + \frac{エ}{オ}) = a(x + カ)(x - ケ)$ と表せる。そのとき、$ax^2 + bx + c - (x + \frac{ソタ}{チ}) = a(x + カ)(x - ケ) - ツ$ を満たす。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ を $G$ とし、直線 $y = x - \frac{1}{2}$ を $l$ とする。

問1: $G$ と $l$ の接点の座標を求め、直線 $l$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した直線を $m$ とするとき、$m$ の方程式を求める。$m$ と $G$ の交点 $B$, $C$ の座標を求め、$\angle ABC$ の大きさと $\triangle ABC$ の面積を求める。

問2: 直線 $l$ を $x$ 軸方向に $-6$ だけ平行移動した直線を $n$ とするとき、$n$ の方程式を求める。放物線 $H: y = ax^2 + bx + c$ が 2 点 $B$, $C$ で直線 $m$ と交わるとき、$ax^2 + bx + c - (x + \frac{エ}{オ}) = a(x + カ)(x - ケ)$ と表せる。そのとき、$ax^2 + bx + c - (x + \frac{ソタ}{チ}) = a(x + カ)(x - ケ) - ツ$ を満たす。

2. 解き方の手順

問1:

1. $G$ と $l$ の接点を求める。$G$ と $l$ が接するので、$\frac{1}{2}x^2 = x - \frac{1}{2}$ を解く。

$x^2 = 2x - 1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

よって、$y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。接点 $A$ は $(1, \frac{1}{2})$。

ア = 1, イ = 1, ウ = 2。

2. 直線 $l$ を $x$ 軸方向に $-2$ 平行移動した直線 $m$ は、$y = (x + 2) - \frac{1}{2} = x + \frac{3}{2}$。

エ = 3, オ = 2。

3. $m$ と $G$ の交点 $B$, $C$ を求める。$\frac{1}{2}x^2 = x + \frac{3}{2}$ を解く。

$x^2 = 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$ のとき、$y = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$。

$x = -1$ のとき、$y = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$。

$B(-1, \frac{1}{2})$, $C(3, \frac{9}{2})$。

カ = -1, キ = 1, ク = 2, ケ = 3, コ = 9, サ = 2。

4. $\angle ABC$ の大きさを求める。

$A(1, \frac{1}{2})$, $B(-1, \frac{1}{2})$, $C(3, \frac{9}{2})$

$AB$ の傾きは $0$。$BC$ の傾きは $\frac{\frac{9}{2} - \frac{1}{2}}{3 - (-1)} = \frac{4}{4} = 1$。

$AB$ は $x$ 軸に平行な直線なので、$BC$ と $x$ 軸とのなす角は $45^\circ$。よって $\angle ABC = 135^\circ$。

シス = 135。

5. $\triangle ABC$ の面積を求める。

$AB$ の長さは $1 - (-1) = 2$。

$AB$ を底辺とすると、高さは $\frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$。

面積は $\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$。

セ = 4。

問2:

1. 直線 $l$ を $x$ 軸方向に $-6$ 平行移動した直線 $n$ は、$y = (x + 6) - \frac{1}{2} = x + \frac{11}{2}$。

ソタ = 11, チ = 2。

2. $ax^2 + bx + c - (x + \frac{3}{2}) = a(x + 1)(x - 3)$。

$ax^2 + bx + c - (x + \frac{11}{2}) = a(x + 1)(x - 3) - ツ$。

$ax^2 + bx + c = a(x + 1)(x - 3) + x + \frac{3}{2}$ より、

$ax^2 + bx + c = a(x + 1)(x - 3) + x + \frac{11}{2} - ツ$。

したがって、$\frac{3}{2} = \frac{11}{2} - ツ$。

$ツ = \frac{11}{2} - \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$。

3. 最終的な答え

ア=1, イ=1, ウ=2, エ=3, オ=2, カ=-1, キ=1, ク=2, ケ=3, コ=9, サ=2, シス=135, セ=4, ソタ=11, チ=2, ツ=4