与えられた2次関数を平方完成させる問題です。全部で10問あります。 (1) $y = x^2 - 2x$ (2) $y = x^2 - 2x - 10$ (3) $y = -2x^2 + 16x + 8$ (4) $y = 5x^2 - 40x + 4$ (5) $y = -3x^2 + 12x + 6$ (6) $y = -5x^2 + 30x - 10$ (7) $y = -5x^2 - 10x - 4$ (8) $y = x^2 - 6x$ (9) $y = -4x^2 - 8x - 1$ (10) $y = -x^2 - 2x - 6$

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成させる問題です。全部で10問あります。

(1) $y = x^2 - 2x$

(2) $y = x^2 - 2x - 10$

(3) $y = -2x^2 + 16x + 8$

(4) $y = 5x^2 - 40x + 4$

(5) $y = -3x^2 + 12x + 6$

(6) $y = -5x^2 + 30x - 10$

(7) $y = -5x^2 - 10x - 4$

(8) $y = x^2 - 6x$

(9) $y = -4x^2 - 8x - 1$

(10) $y = -x^2 - 2x - 6$

2. 解き方の手順

平方完成は、2次式を $(x-p)^2 + q$ の形に変形することです。

(1) $y = x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1$

(2) $y = x^2 - 2x - 10 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 10 = (x - 1)^2 - 11$

(3) $y = -2x^2 + 16x + 8 = -2(x^2 - 8x) + 8 = -2(x^2 - 8x + 16) + 32 + 8 = -2(x - 4)^2 + 40$

(4) $y = 5x^2 - 40x + 4 = 5(x^2 - 8x) + 4 = 5(x^2 - 8x + 16) - 80 + 4 = 5(x - 4)^2 - 76$

(5) $y = -3x^2 + 12x + 6 = -3(x^2 - 4x) + 6 = -3(x^2 - 4x + 4) + 12 + 6 = -3(x - 2)^2 + 18$

(6) $y = -5x^2 + 30x - 10 = -5(x^2 - 6x) - 10 = -5(x^2 - 6x + 9) + 45 - 10 = -5(x - 3)^2 + 35$

(7) $y = -5x^2 - 10x - 4 = -5(x^2 + 2x) - 4 = -5(x^2 + 2x + 1) + 5 - 4 = -5(x + 1)^2 + 1$

(8) $y = x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9$

(9) $y = -4x^2 - 8x - 1 = -4(x^2 + 2x) - 1 = -4(x^2 + 2x + 1) + 4 - 1 = -4(x + 1)^2 + 3$

(10) $y = -x^2 - 2x - 6 = -(x^2 + 2x) - 6 = -(x^2 + 2x + 1) + 1 - 6 = -(x + 1)^2 - 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x - 1)^2 - 1$

(2) $y = (x - 1)^2 - 11$

(3) $y = -2(x - 4)^2 + 40$

(4) $y = 5(x - 4)^2 - 76$

(5) $y = -3(x - 2)^2 + 18$

(6) $y = -5(x - 3)^2 + 35$

(7) $y = -5(x + 1)^2 + 1$

(8) $y = (x - 3)^2 - 9$

(9) $y = -4(x + 1)^2 + 3$

(10) $y = -(x + 1)^2 - 5$