$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 2$)について、(1)最小値を求めよ。(2)最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 2$)について、(1)最小値を求めよ。(2)最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + 2a^2 = (x - a)^2 - a^2 + 2a^2 = (x - a)^2 + a^2$

軸は $x = a$ である。定義域 $0 \le x \le 2$ と軸 $x = a$ の位置関係によって場合分けを行う。

(i) $a < 0$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調増加である。したがって、$x = 0$ で最小値をとる。

最小値は $y = 0^2 - 2a \cdot 0 + 2a^2 = 2a^2$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

軸 $x = a$ が定義域に含まれるので、$x = a$ で最小値をとる。

最小値は $y = a^2 - 2a \cdot a + 2a^2 = a^2$

(iii) $2 < a$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調減少である。したがって、$x = 2$ で最小値をとる。

最小値は $y = 2^2 - 2a \cdot 2 + 2a^2 = 4 - 4a + 2a^2 = 2a^2 - 4a + 4$

(2) 最大値を求める。

軸 $x = a$ と定義域 $0 \le x \le 2$ の位置関係によって場合分けを行う。

$x = 0$ と $x = 2$ のどちらで最大値を取るか考える。

$x = 0$ のとき $y = 2a^2$

$x = 2$ のとき $y = 2a^2 - 4a + 4$

$2a^2 - (2a^2 - 4a + 4) = 4a - 4$

$4a - 4 = 0$ となるのは $a = 1$ のときである。

$a = 1$ のとき、$x = 0$ と $x = 2$ で $y$ の値が等しく、最大値となる。

(i) $a < 1$ のとき

$4a - 4 < 0$ より、$2a^2 < 2a^2 - 4a + 4$ となるので、$x = 2$ で最大値をとる。

最大値は $2a^2 - 4a + 4$

(ii) $a = 1$ のとき

$x = 0$ のとき $y = 2$

$x = 2$ のとき $y = 4 - 4 + 2 = 2$

$x = 0$ と $x = 2$ で同じ値をとるので、$x = 0, 2$ で最大値をとる。

最大値は $2$

(iii) $1 < a$ のとき

$4a - 4 > 0$ より、$2a^2 > 2a^2 - 4a + 4$ となるので、$x = 0$ で最大値をとる。

最大値は $2a^2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、$x = 0$ で最小値 $2a^2$

$0 \le a \le 2$ のとき、$x = a$ で最小値 $a^2$

$2 < a$ のとき、$x = 2$ で最小値 $2a^2 - 4a + 4$

(2) 最大値

$a < 1$ のとき、$x = 2$ で最大値 $2a^2 - 4a + 4$

$a = 1$ のとき、$x = 0, 2$ で最大値 $2$

$1 < a$ のとき、$x = 0$ で最大値 $2a^2$