次の3つの2次関数を平方完成し、$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形します。 (1) $y = x^2 - 4x + 3$ (2) $y = 3x^2 + 6x - 1$ (3) $y = 2x^2 - 3x + 2$

1. 問題の内容

次の3つの2次関数を平方完成し、$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形します。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$

(2) $y = 3x^2 + 6x - 1$

(3) $y = 2x^2 - 3x + 2$

2. 解き方の手順

平方完成の手順は以下の通りです。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$ の場合

1. $x^2$ と $x$ の項をまとめます。

2. $(x - A)^2 = x^2 - 2Ax + A^2$ を利用して、$x^2 - 4x$ を $(x - 2)^2$ の形にします。このとき、$A=2$ です。

3. 定数項を調整します。 $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ なので、$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ となります。

4. 元の式に代入して整理します。

(2) $y = 3x^2 + 6x - 1$ の場合

1. $x^2$ の係数で括ります。 $y = 3(x^2 + 2x) - 1$

2. 括弧の中の $x^2$ と $x$ の項に対して、平方完成を行います。 $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ なので、$x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$ となります。

3. 元の式に代入して整理します。

(3) $y = 2x^2 - 3x + 2$ の場合

1. $x^2$ の係数で括ります。 $y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 2$

2. 括弧の中の $x^2$ と $x$ の項に対して、平方完成を行います。 $(x - \frac{3}{4})^2 = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}$ なので、$x^2 - \frac{3}{2}x = (x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}$ となります。

3. 元の式に代入して整理します。

それでは、実際に計算していきます。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$

$y = (x - 2)^2 - 4 + 3$

$y = (x - 2)^2 - 1$

(2) $y = 3x^2 + 6x - 1$

$y = 3(x^2 + 2x) - 1$

$y = 3((x + 1)^2 - 1) - 1$

$y = 3(x + 1)^2 - 3 - 1$

$y = 3(x + 1)^2 - 4$

(3) $y = 2x^2 - 3x + 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 2$

$y = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{16}{8} - \frac{9}{8}$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x - 2)^2 - 1$

(2) $y = 3(x + 1)^2 - 4$

(3) $y = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{8}$