与えられた6つの2次関数について、グラフの軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 4x$ (2) $y = -x^2 + 3x - 2$ (3) $y = 2x^2 + 8x + 12$ (4) $y = -2x^2 + 10x - 7$ (5) $y = 3x^2 - 5x + 1$ (6) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 1$

## 解答

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、グラフの軸と頂点を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 4x$

(2) $y = -x^2 + 3x - 2$

(3) $y = 2x^2 + 8x + 12$

(4) $y = -2x^2 + 10x - 7$

(5) $y = 3x^2 - 5x + 1$

(6) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 1$

2. 解き方の手順

2次関数を平方完成の形に変形することで、頂点と軸を求めます。

一般的な2次関数の形は $y = a(x-p)^2 + q$ で、このとき頂点は $(p, q)$、軸は $x = p$ となります。

(1) $y = x^2 - 4x$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4$

$y = (x - 2)^2 - 4$

頂点: $(2, -4)$

軸: $x = 2$

(2) $y = -x^2 + 3x - 2$

$y = -(x^2 - 3x) - 2$

$y = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + \frac{9}{4} - 2$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4}$

頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$

軸: $x = \frac{3}{2}$

(3) $y = 2x^2 + 8x + 12$

$y = 2(x^2 + 4x) + 12$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 + 12$

$y = 2(x + 2)^2 + 4$

頂点: $(-2, 4)$

軸: $x = -2$

(4) $y = -2x^2 + 10x - 7$

$y = -2(x^2 - 5x) - 7$

$y = -2(x^2 - 5x + \frac{25}{4}) + \frac{25}{2} - 7$

$y = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{11}{2}$

頂点: $(\frac{5}{2}, \frac{11}{2})$

軸: $x = \frac{5}{2}$

(5) $y = 3x^2 - 5x + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{5}{3}x) + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{25}{36}) - \frac{25}{12} + 1$

$y = 3(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{13}{12}$

頂点: $(\frac{5}{6}, -\frac{13}{12})$

軸: $x = \frac{5}{6}$

(6) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 1$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x) + 1$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x + 9) + 3 + 1$

$y = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 4$

頂点: $(3, 4)$

軸: $x = 3$

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(2, -4)$、軸: $x = 2$

(2) 頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$、軸: $x = \frac{3}{2}$

(3) 頂点: $(-2, 4)$、軸: $x = -2$

(4) 頂点: $(\frac{5}{2}, \frac{11}{2})$、軸: $x = \frac{5}{2}$

(5) 頂点: $(\frac{5}{6}, -\frac{13}{12})$、軸: $x = \frac{5}{6}$

(6) 頂点: $(3, 4)$、軸: $x = 3$