与えられた4x4行列の行列式を求める問題です。行列の要素は、$a, b, c, d$を用いて表されています。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} a^2 + 1 & ab & ac & ad \\ ba & b^2 + 1 & bc & bd \\ ca & cb & c^2 + 1 & cd \\ da & db & dc & d^2 + 1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を求める問題です。行列の要素は、$a, b, c, d$を用いて表されています。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

a^2 + 1 & ab & ac & ad \\

ba & b^2 + 1 & bc & bd \\

ca & cb & c^2 + 1 & cd \\

da & db & dc & d^2 + 1

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

この行列式を計算するにあたって、いくつかのアプローチが考えられますが、ここでは以下の手順で計算を進めます。

* **手順1:** 行列式を分解することを考えます。与えられた行列を$A$とすると、$A = I + uv^T$と表すことができます。ここで、$I$は4x4の単位行列、$u = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$、$v = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$です。

* **手順2:** 行列式の性質$\det(I + uv^T) = 1 + v^Tu$を利用します。

* **手順3:** 計算を行います。

3. 最終的な答え

手順2より、

$\det(A) = \det(I + uv^T) = 1 + v^Tu$

$v^Tu = \begin{pmatrix} a & b & c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

したがって、

$\det(A) = 1 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

最終的な答え：$1 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2$