与えられた関数の定義域における値域、最大値、最小値を求めます。 (1) $y = 2x^2$ ($-2 \le x \le -1$) (2) $y = -2x^2$ ($-2 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

与えられた関数の定義域における値域、最大値、最小値を求めます。

(1) $y = 2x^2$ ($-2 \le x \le -1$)

(2) $y = -2x^2$ ($-2 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2$ について考えます。

$x^2$ は $x = 0$ で最小値0をとり、絶対値が大きいほど値が大きくなります。

しかし、定義域が $-2 \le x \le -1$ なので、$x = -2$ のとき最大値、$x = -1$ のとき最小値をとります。

$x = -2$ のとき $y = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

$x = -1$ のとき $y = 2(-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$

したがって、最大値は8、最小値は2、値域は $2 \le y \le 8$ です。

(2) $y = -2x^2$ について考えます。

$x^2$ は $x = 0$ で最小値0をとり、絶対値が大きいほど値が大きくなります。これに-2を掛けているので、下に凸のグラフになります。

定義域が $-2 \le x \le 1$ なので、$x = 0$ のとき最大値、$x = -2$ のとき最小値をとります。

$x = 0$ のとき $y = -2(0)^2 = -2 \cdot 0 = 0$

$x = -2$ のとき $y = -2(-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$

また、$x = 1$ のとき $y = -2(1)^2 = -2 \cdot 1 = -2$

最小値は-8、最大値は0、値域は $-8 \le y \le 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 8, 最小値: 2, 値域: $2 \le y \le 8$

(2) 最大値: 0, 最小値: -8, 値域: $-8 \le y \le 0$