中心が原点である円Cと、円 $(x+1)^2 + (y-7)^2 = 8$ が外接している。 (1) 原点と円 $(x+1)^2 + (y-7)^2 = 8$ の中心との距離を求めよ。 (2) 円Cの方程式を求めよ。

1. 問題の内容

中心が原点である円Cと、円 $(x+1)^2 + (y-7)^2 = 8$ が外接している。

(1) 原点と円 $(x+1)^2 + (y-7)^2 = 8$ の中心との距離を求めよ。

(2) 円Cの方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円 $(x+1)^2 + (y-7)^2 = 8$ の中心の座標は $(-1, 7)$ である。

原点の座標は $(0, 0)$ である。

原点と円の中心との距離は、2点間の距離の公式を用いて計算できる。

2点間の距離の公式は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ である。

したがって、原点と円の中心 $(-1, 7)$ との距離は

$\sqrt{(-1 - 0)^2 + (7 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(2)

円 $(x+1)^2 + (y-7)^2 = 8$ の半径は $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ である。

2つの円が外接しているので、中心間の距離は2つの円の半径の和に等しい。

円Cの半径を $r$ とすると、

$r + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

$r = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

円Cの中心は原点なので、円Cの方程式は $x^2 + y^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $5\sqrt{2}$

(2) $x^2 + y^2 = 18$