100以下の自然数全体を全体集合とする。部分集合Aは3の倍数の集合、Bは1の位または10の位が3である自然数の集合とする。以下の集合の要素の個数を求める。 (1) B (2) A ∩ B (3) A ∪ B

1. 問題の内容

100以下の自然数全体を全体集合とする。部分集合Aは3の倍数の集合、Bは1の位または10の位が3である自然数の集合とする。以下の集合の要素の個数を求める。

(1) B

(2) A ∩ B

(3) A ∪ B

2. 解き方の手順

(1) Bの要素の個数：

Bは1の位または10の位が3である100以下の自然数の集合である。

10の位が3である数は、30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39の10個。

1の位が3である数は、3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93の10個。

33は重複しているので、Bの要素の個数は10 + 10 - 1 = 19個。

(2) A ∩ Bの要素の個数：

Aは3の倍数の集合、Bは1の位または10の位が3である数の集合である。A ∩ Bは3の倍数であり、かつ1の位または10の位が3である数の集合である。

1の位が3である3の倍数は、3, 33, 63, 93の4個。

10の位が3である3の倍数は、30, 33, 36, 39の4個。

33は重複しているので、A ∩ Bの要素の個数は4 + 4 - 1 = 7個。

(3) A ∪ Bの要素の個数：

Aは3の倍数の集合であり、100 ÷ 3 = 33 あまり1なので、Aの要素の個数は33個。

Bの要素の個数は(1)より19個。

A ∩ Bの要素の個数は(2)より7個。

A ∪ Bの要素の個数は $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ で求められる。

$|A \cup B| = 33 + 19 - 7 = 45$

3. 最終的な答え

(1) 19

(2) 7

(3) 45