与えられた数式 $2\sqrt{2} + \sqrt{512} - 3\sqrt{32}$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた数式 $2\sqrt{2} + \sqrt{512} - 3\sqrt{32}$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{512}$ と $\sqrt{32}$ をそれぞれ簡略化します。

$\sqrt{512}$ について：

512 を素因数分解すると $512 = 2^9$ となります。したがって、

$\sqrt{512} = \sqrt{2^9} = \sqrt{2^8 \cdot 2} = \sqrt{(2^4)^2 \cdot 2} = 2^4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$.

$\sqrt{32}$ について：

32 を素因数分解すると $32 = 2^5$ となります。したがって、

$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = \sqrt{2^4 \cdot 2} = \sqrt{(2^2)^2 \cdot 2} = 2^2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

与えられた式にこれらの結果を代入します：

$2\sqrt{2} + \sqrt{512} - 3\sqrt{32} = 2\sqrt{2} + 16\sqrt{2} - 3(4\sqrt{2})$.

計算を進めます：

$2\sqrt{2} + 16\sqrt{2} - 12\sqrt{2} = (2 + 16 - 12)\sqrt{2} = (18 - 12)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}$