4人が100点満点のテストを受け、最高点が80点、最低点が60点であったとき、平均点が小数第二位を四捨五入した値として、選択肢の中からあり得るものを一つ選ぶ問題です。テストの得点は整数です。

1. 問題の内容

4人が100点満点のテストを受け、最高点が80点、最低点が60点であったとき、平均点が小数第二位を四捨五入した値として、選択肢の中からあり得るものを一つ選ぶ問題です。テストの得点は整数です。

2. 解き方の手順

4人の得点の合計を$S$、平均点を$A$とします。

平均点$A$は、$A = \frac{S}{4}$で求められます。

また、各個人の点数は60点以上80点以下の整数です。

平均点の候補それぞれに対して、合計点が整数になるかどうかを検証します。四捨五入前の平均点は、選択肢の値の±0.05の範囲にあります。つまり、選択肢の値を$x$とすると、$x-0.05 \le A < x+0.05$です。したがって、$4(x-0.05) \le S < 4(x+0.05)$となります。ここで、$S$は整数でなければなりません。

a. $A=63.5$の場合:

$4(63.5 - 0.05) \le S < 4(63.5 + 0.05)$

$4(63.45) \le S < 4(63.55)$

$253.8 \le S < 254.2$

$S$は整数なので、$S = 254$。

この時、4人の合計点が254点になる可能性を考えます。

4人の合計点が254点になるためには、4人全員が最低点の60点だった場合、合計は$60 \times 4 = 240$点です。また、最高点の80点を取った人がいるので、残りの3人は60点以上80点以下である必要があります。

例えば、$80 + 60 + 60 + 54 = 254$ですが、54点はありえません。

また、$80 + 71 + 71 + 32 = 254$ですが、32点はありえません。

よってあり得ます。

例：80 + 67 + 54+53 = 254 254/4 = 63.5

b. $A=68.1$の場合:

$4(68.1 - 0.05) \le S < 4(68.1 + 0.05)$

$4(68.05) \le S < 4(68.15)$

$272.2 \le S < 272.6$

$S$は整数なので、$S = 273$。

例えば、$80 + 60 + 60 + 73 = 273$

よって、平均は$273 / 4 = 68.25$となり、四捨五入すると68.3となるため、不適です。

c. $A=70.4$の場合:

$4(70.4 - 0.05) \le S < 4(70.4 + 0.05)$

$4(70.35) \le S < 4(70.45)$

$281.4 \le S < 281.8$

$S$は整数なので、$S = 282$。

例えば、$60 + 80 + 71 + 71 = 282$

平均は $282 / 4 = 70.5$ となり、四捨五入すると70.5となるため不適です。

d. $A=73.8$の場合:

$4(73.8 - 0.05) \le S < 4(73.8 + 0.05)$

$4(73.75) \le S < 4(73.85)$

$295 \le S < 295.4$

$S$は整数なので、$S = 295$。

例えば、$70 + 70 + 77 + 78 = 295$

平均は $295/4 = 73.75$ 四捨五入すると、73.8になるためあり得ます。

e. $A=76.0$の場合:

$4(76.0 - 0.05) \le S < 4(76.0 + 0.05)$

$4(75.95) \le S < 4(76.05)$

$303.8 \le S < 304.2$

$S$は整数なので、$S = 304$。

例えば、$80+80+72+72 = 304$

平均は $304/4 = 76$

よってあり得ます。

したがって、可能性のあるものはa,d,eです。最も適当なものを選ぶ必要があります。

もし４人が60,60,80,60だった場合、平均は65なので、63.5はあり得ません。平均点は60以上80以下なのでありえます。

もし、４人が80,80,80,80の場合、平均点は80です。

四捨五入を考慮すると、平均点が取り得る値は、60 <= x <= 80 です。

この中で最も適当なものを選びます。

それぞれの選択肢で、四捨五入される元の値を考えます。

a:63.5となるためには、63.45以上63.55未満である必要があります。

b:68.1となるためには、68.05以上68.15未満である必要があります。

c:70.4となるためには、70.35以上70.45未満である必要があります。

d:73.8となるためには、73.75以上73.85未満である必要があります。

e:76.0となるためには、75.95以上76.05未満である必要があります。

a 4人の合計は、253.8～254.2なので、254となる可能性がある。254を4で割ると63.5

b 4人の合計は、272.2～272.6なので、273となる可能性がある。273を4で割ると68.25なので、四捨五入すると68.3となり、適さない。

c 4人の合計は、281.4～281.8なので、282となる可能性がある。282を4で割ると70.5なので、四捨五入すると70.5となり、適さない。

d 4人の合計は、295.0～295.4なので、295となる可能性がある。295を4で割ると73.75なので、四捨五入すると73.8となり、適する。

e 4人の合計は、303.8～304.2なので、304となる可能性がある。304を4で割ると76.0となり、適する。

a,d,eの中で、最もあり得そうなのは、テストの点数が平均的に分布しているd,eが良いでしょう。eは全員が80点に近いので、dが最も適しているでしょう。

3. 最終的な答え

d