7つの数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作ります。 (1) このような整数は全部で何個あるか求め、一の位の数が十の位の数より小さい整数は全部で何個あるか求めます。 (2) できる3桁の整数のうち、2または5で割り切れる整数は全部で何個あるか求めます。 (3) できる3桁の整数を小さい順に並べたとき、70番目の数を求め、また456は何番目の数かを求めます。

1. 問題の内容

7つの数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作ります。

(1) このような整数は全部で何個あるか求め、一の位の数が十の位の数より小さい整数は全部で何個あるか求めます。

(2) できる3桁の整数のうち、2または5で割り切れる整数は全部で何個あるか求めます。

(3) できる3桁の整数を小さい順に並べたとき、70番目の数を求め、また456は何番目の数かを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* 3桁の整数全体の個数:

百の位は0以外の6通り、十の位は百の位に使った数以外の6通り、一の位は百の位と十の位に使った数以外の5通りなので、$6 \times 6 \times 5 = 180$ 個。

* 一の位が十の位より小さい整数の個数:

まず、百の位を固定して考える。

百の位が1の場合、十の位と一の位の組み合わせは (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)の21通り。

百の位が2の場合、同様に考えると、十の位と一の位の組み合わせは15通り。

百の位が3の場合、同様に考えると、十の位と一の位の組み合わせは10通り。

百の位が4の場合、同様に考えると、十の位と一の位の組み合わせは6通り。

百の位が5の場合、同様に考えると、十の位と一の位の組み合わせは3通り。

百の位が6の場合、同様に考えると、十の位と一の位の組み合わせは1通り。

よって、合計は$21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56$個。

(2)

* 2または5で割り切れる整数：

一の位が0, 2, 4, 5, 6 のいずれかであればよい。

* 一の位が0のとき: 百の位は6通り、十の位は5通りなので、$6 \times 5 = 30$ 個。

* 一の位が2, 4, 6 のとき: 百の位は0以外なので5通り、十の位は百の位と一の位に使った数以外なので5通り、$3 \times 5 \times 5 = 75$ 個。

* 一の位が5のとき: 百の位は0以外なので5通り、十の位は百の位と一の位に使った数以外なので5通り、$5 \times 5 = 25$ 個。

よって、合計は$30 + 75 + 25 = 130$個。

(3)

* 3桁の整数を小さい順に並べたとき：

102, 103, 104, 105, 106, 120, 123, ...

100番台: $5 \times 5 = 25$個 (百の位に1を使うとき、十の位は0以外の5通り、一の位は百の位と十の位に使った数以外の5通り)

200番台: $5 \times 5 = 25$個

300番台: $5 \times 5 = 25$個

ここまでで75個なので、70番目の数は300番台にある。

100番台と200番台を全部数えると50個なので、70番目の数は300番台の20番目の数。

301, 302, 304, 305, 306, 310, 312, 314, 315, 316, 320, 321, 324, 325, 326, 340, 341, 342, 345, 346

よって、70番目の数は346。

456は何番目の数か:

100番台: 25個

200番台: 25個

300番台: 25個

400番台:

401, 402, 403, 405, 406, 410, 412, 413, 415, 416, 420, 421, 423, 425, 426, 430, 431, 432, 435, 436, 450, 451, 452, 453, 456

よって、$25 + 25 + 25 + 25 = 100$個

456より小さい400番台の数は

401, 402, 403, 405, 406, 410, 412, 413, 415, 416, 420, 421, 423, 425, 426, 430, 431, 432, 435, 436, 450, 451, 452, 453 (24個)

よって、456は$75 + 25 = 100$番目

456は$75 + 25 = 100$より、$75 + 24 = 99$番目

3. 最終的な答え

(1) 180個、56個

(2) 130個

(3) 346、100番目