(1) (1)-① 選択肢の中から6の倍数であるものを全て選ぶ。 (1)-② 選択肢の中から15の倍数であるものを全て選ぶ。 (2) 30と105の最小公倍数と最大公約数をそれぞれ求める。 (3) 素因数分解を利用して、110の約数の個数を求める。

1. 問題の内容

(1)

(1)-① 選択肢の中から6の倍数であるものを全て選ぶ。

(1)-② 選択肢の中から15の倍数であるものを全て選ぶ。

(2) 30と105の最小公倍数と最大公約数をそれぞれ求める。

(3) 素因数分解を利用して、110の約数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(1)-①

6の倍数である条件は、2と3を因数に持つことです。

ア: $2 \times 3 \times 5 = 30 = 6 \times 5$ なので、6の倍数です。

イ: $3 \times 5^2 = 75$ なので、6の倍数ではありません。

ウ: $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 = 6 \times 6$ なので、6の倍数です。

エ: $3^2 \times 7 \times 11 = 9 \times 7 \times 11 = 693$ なので、6の倍数ではありません。

よって、アとウが6の倍数です。

(1)-②

15の倍数である条件は、3と5を因数に持つことです。

ア: $2 \times 3 \times 5 = 30 = 15 \times 2$ なので、15の倍数です。

イ: $3 \times 5^2 = 75 = 15 \times 5$ なので、15の倍数です。

ウ: $2^2 \times 3^2 = 36$ なので、15の倍数ではありません。

エ: $3^2 \times 7 \times 11 = 693$ なので、15の倍数ではありません。

よって、アとイが15の倍数です。

(2)

30を素因数分解すると、$30 = 2 \times 3 \times 5$

105を素因数分解すると、$105 = 3 \times 5 \times 7$

最小公倍数は、それぞれの素因数の最大指数をとります。

$LCM(30, 105) = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210$

最大公約数は、共通の素因数の最小指数をとります。

$GCD(30, 105) = 3 \times 5 = 15$

(3)

110を素因数分解すると、$110 = 2 \times 5 \times 11$

約数の個数は、各素因数の指数に1を足して掛け合わせます。

110の約数の個数は、$(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8$ 個です。

3. 最終的な答え

(1)

① ア、ウ

② ア、イ

(2)

最小公倍数：210、最大公約数：15

(3)

8