5つの数字 $0, 1, 2, 3, 4$ を重複を許して使い、以下の条件を満たす自然数の個数を求める問題です。 (1) 3桁の数 (2) 3桁の偶数 (3) 123より小さい数

1. 問題の内容

5つの数字 $0, 1, 2, 3, 4$ を重複を許して使い、以下の条件を満たす自然数の個数を求める問題です。

(1) 3桁の数

(2) 3桁の偶数

(3) 123より小さい数

2. 解き方の手順

(1) 3桁の数

百の位は0以外なので、4通りの選択肢があります。十の位と一の位は5通りの選択肢があります。したがって、3桁の数は$4 \times 5 \times 5 = 100$個です。

(2) 3桁の偶数

一の位が偶数である必要があります。つまり、一の位は$0, 2, 4$のいずれかです。

百の位は0以外なので、4通りの選択肢があります。十の位は5通りの選択肢があります。

一の位が0のとき、$4 \times 5 \times 1 = 20$個です。

一の位が2または4のとき、$4 \times 5 \times 2 = 40$個です。

ただし、百の位が0になる場合は3桁にならないので、その分を考慮する必要があります。

しかし、今回は百の位に0が来ないという条件があるので、単純に足し合わせます。

よって、$20 + 40 = 60$個です。

(3) 123より小さい数

1桁の数は、$1, 2, 3, 4$の4個です。

2桁の数は、十の位が$1, 2, 3, 4$のいずれかで、一の位は$0, 1, 2, 3, 4$のいずれかです。

十の位は0以外なので、4通りの選択肢があります。一の位は5通りの選択肢があるので、$4 \times 5 = 20$個です。

3桁の数は、123より小さい数を考えます。

百の位が0のときは、2桁以下の数になるため考えません。

百の位が1のとき、十の位は0, 1, 2のいずれかです。

十の位が0のとき、一の位は$0, 1, 2, 3, 4$の5通りです。

十の位が1のとき、一の位は$0, 1, 2, 3, 4$の5通りです。

十の位が2のとき、一の位は0, 1, 2の3通りです。

よって、百の位が1のとき、$5+5+3 = 13$個です。

したがって、123より小さい数は、$4 + 20 + 13 = 37$個です。

3. 最終的な答え

(1) 100個

(2) 60個

(3) 37個