縦60cm、横72cmの長方形の枠に、1辺の長さ$a$ cmの正方形のタイルを隙間なく敷き詰めたい。タイルをできるだけ大きくするには、$a$の値をいくらにすればよいか。ただし、$a$は整数とする。

1. 問題の内容

縦60cm、横72cmの長方形の枠に、1辺の長さ$a$ cmの正方形のタイルを隙間なく敷き詰めたい。タイルをできるだけ大きくするには、$a$の値をいくらにすればよいか。ただし、$a$は整数とする。

2. 解き方の手順

(1) 60を等分できる正の整数をすべて求める。

60の約数は、1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60である。

(2) 72を等分できる正の整数をすべて求める。

72の約数は、1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72である。

(3) 上の問題の答えである$a$の値を求める。

$a$は60と72の公約数であり、できるだけ大きくしたいので、最大公約数を求める。

60 = $2^2 \times 3 \times 5$

72 = $2^3 \times 3^2$

最大公約数は、$2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$

したがって、$a=12$

3. 最終的な答え

(1) 60を等分できる正の整数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

(2) 72を等分できる正の整数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

(3) aの値：12