問題11は、指定された数の組の最大公約数を素因数分解を用いて求める問題です。問題12は、縦216mm, 横480mm, 高さ144mmの直方体の箱に、1辺の長さ $a$ mmの立方体の積み木をすき間なく詰めるとき、$a$ の値をできるだけ大きくするには $a$ をいくつにすればよいか求める問題です。ただし、$a$ は整数とします。

1. 問題の内容

問題11は、指定された数の組の最大公約数を素因数分解を用いて求める問題です。問題12は、縦216mm, 横480mm, 高さ144mmの直方体の箱に、1辺の長さ $a$ mmの立方体の積み木をすき間なく詰めるとき、$a$ の値をできるだけ大きくするには $a$ をいくつにすればよいか求める問題です。ただし、$a$ は整数とします。

2. 解き方の手順

問題12を解きます。

* 縦、横、高さの最大公約数を求めます。これは、積み木の1辺の長さ $a$ となります。

* 216, 480, 144 の最大公約数を求めるために、まずそれぞれの数を素因数分解します。

$216 = 2^3 \times 3^3$

$480 = 2^5 \times 3 \times 5$

$144 = 2^4 \times 3^2$

* 次に、共通の素因数のうち、指数の最も小さいものを選びます。

共通の素因数は2と3です。2の最小の指数は3、3の最小の指数は1です。

* したがって、最大公約数は $2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$ となります。

3. 最終的な答え

24