与えられた組み合わせ (combination) の値を計算する問題です。具体的には、${}_nC_r$ の形で表される10個の組み合わせの値を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた組み合わせ (combination) の値を計算する問題です。具体的には、${}_nC_r$ の形で表される10個の組み合わせの値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算します。ただし、計算を簡単にするために、いくつかの性質を利用します。

(1) ${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) ${}_8C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(3) ${}_5C_1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$

(4) ${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

(5) ${}_7C_5 = {}_7C_{7-5} = {}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(6) ${}_9C_8 = {}_9C_{9-8} = {}_9C_1 = 9$

(7) ${}_{13}C_{10} = {}_{13}C_{13-10} = {}_{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$

(8) ${}_{20}C_{18} = {}_{20}C_{20-18} = {}_{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$

(9) ${}_4C_4 = 1$

(10) ${}_8C_0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) ${}_6C_3 = 20$

(2) ${}_8C_2 = 28$

(3) ${}_5C_1 = 5$

(4) ${}_{10}C_4 = 210$

(5) ${}_7C_5 = 21$

(6) ${}_9C_8 = 9$

(7) ${}_{13}C_{10} = 286$

(8) ${}_{20}C_{18} = 190$

(9) ${}_4C_4 = 1$

(10) ${}_8C_0 = 1$