$f(x) = ax^2 + bx + c$ (ただし $a \neq 0$)で定義される関数$f(x)$のグラフを$C_1$とする。$C_1$が以下の3つの条件を満たすとき、$a, b, c$の値を求める問題。 (i) $C_1$は点$(1,0)$を通る。 (ii) $C_1$は$x < -1$の範囲で増加し、$x > -1$の範囲で減少する。 (iii) $C_1$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\frac{64}{3}$である。

1. 問題の内容

$f(x) = ax^2 + bx + c$ (ただし $a \neq 0$)で定義される関数$f(x)$のグラフを$C_1$とする。$C_1$が以下の3つの条件を満たすとき、$a, b, c$の値を求める問題。

(i) $C_1$は点$(1,0)$を通る。

(ii) $C_1$は$x < -1$の範囲で増加し、$x > -1$の範囲で減少する。

(iii) $C_1$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\frac{64}{3}$である。

2. 解き方の手順

(i) $C_1$が点$(1,0)$を通るので、$f(1) = 0$より、

$a + b + c = 0$

よって、ア = 0

(ii) $x = -1$で極大になるので、$f'(x) = 2ax + b$ より、$f'(-1) = 0$

$2a(-1) + b = 0$

$-2a + b = 0$

$b = 2a$

また、$x < -1$ で増加、$x > -1$ で減少するので、$a < 0$

したがって、イの選択肢は①。

$b = 2a$ を $a + b + c = 0$ に代入すると

$a + 2a + c = 0$

$3a + c = 0$

$c = -3a$

よって、ウ = 2, エオ = -3

次に条件(iii) より$C_1$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\frac{64}{3}$

$f(x) = ax^2 + 2ax - 3a = a(x^2 + 2x - 3) = a(x+3)(x-1)$

よって、$C_1$と$x$軸との交点は$x=-3, 1$

$\int_{-3}^{1} (ax^2 + 2ax - 3a) dx = \frac{64}{3}$

$\int_{-3}^{1} a(x+3)(x-1) dx = \frac{64}{3}$

$a \int_{-3}^{1} (x^2 + 2x - 3) dx = \frac{64}{3}$

$a \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x \right]_{-3}^{1} = \frac{64}{3}$

$a \left[ (\frac{1}{3} + 1 - 3) - (\frac{-27}{3} + 9 + 9) \right] = \frac{64}{3}$

$a \left[ \frac{1}{3} - 2 - (-9+18) \right] = \frac{64}{3}$

$a \left[ \frac{1}{3} - 2 - 9 \right] = \frac{64}{3}$

$a \left[ \frac{1}{3} - 11 \right] = \frac{64}{3}$

$a \left[ \frac{1-33}{3} \right] = \frac{64}{3}$

$a \left[ -\frac{32}{3} \right] = \frac{64}{3}$

$a = -2$

$b = 2a = -4$

$c = -3a = 6$

3. 最終的な答え

ア = 0

イ = ①

ウ = 2

エオ = -3

カキ = -2

クケ = -4

コ = 6