与えられた8つの2次式をそれぞれ平方完成させる問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの2次式をそれぞれ平方完成させる問題です。

2. 解き方の手順

平方完成を行うには、まず$x^2$の係数で式全体を括ります。次に、$x$の係数の半分を2乗した数を足し引きすることで、$(x + a)^2$の形を作ります。最後に、定数項を整理します。

(1) $x^2 - 10x$

$x$の係数は-10なので、その半分である-5を2乗した25を足し引きします。

$x^2 - 10x + 25 - 25 = (x - 5)^2 - 25$

(2) $-x^2 + 6x - 2$

まず、$-1$で括ります。

$-(x^2 - 6x) - 2$

$x$の係数は-6なので、その半分である-3を2乗した9を足し引きします。

$-(x^2 - 6x + 9 - 9) - 2 = -((x - 3)^2 - 9) - 2 = -(x - 3)^2 + 9 - 2 = -(x - 3)^2 + 7$

(3) $3x^2 + 6x + 2$

まず、3で括ります。

$3(x^2 + 2x) + 2$

$x$の係数は2なので、その半分である1を2乗した1を足し引きします。

$3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 2 = 3((x + 1)^2 - 1) + 2 = 3(x + 1)^2 - 3 + 2 = 3(x + 1)^2 - 1$

(4) $-2x^2 + 4x + 1$

まず、$-2$で括ります。

$-2(x^2 - 2x) + 1$

$x$の係数は-2なので、その半分である-1を2乗した1を足し引きします。

$-2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -2((x - 1)^2 - 1) + 1 = -2(x - 1)^2 + 2 + 1 = -2(x - 1)^2 + 3$

(5) $2x^2 + 3x + 1$

まず、2で括ります。

$2(x^2 + \frac{3}{2}x) + 1$

$x$の係数は$\frac{3}{2}$なので、その半分である$\frac{3}{4}$を2乗した$\frac{9}{16}$を足し引きします。

$2(x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) + 1 = 2((x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 1 = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 1 = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(6) $-2x^2 + 5x - 2$

まず、$-2$で括ります。

$-2(x^2 - \frac{5}{2}x) - 2$

$x$の係数は$-\frac{5}{2}$なので、その半分である$-\frac{5}{4}$を2乗した$\frac{25}{16}$を足し引きします。

$-2(x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16}) - 2 = -2((x - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16}) - 2 = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} - 2 = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{9}{8}$

(7) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 2$

まず、$\frac{1}{3}$で括ります。

$\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + 2$

$x$の係数は-4なので、その半分である-2を2乗した4を足し引きします。

$\frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = \frac{1}{3}((x - 2)^2 - 4) + 2 = \frac{1}{3}(x - 2)^2 - \frac{4}{3} + 2 = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + \frac{2}{3}$

(8) $-\frac{1}{2}x^2 - x + 1$

まず、$-\frac{1}{2}$で括ります。

$-\frac{1}{2}(x^2 + 2x) + 1$

$x$の係数は2なので、その半分である1を2乗した1を足し引きします。

$-\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -\frac{1}{2}((x + 1)^2 - 1) + 1 = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 5)^2 - 25$

(2) $-(x - 3)^2 + 7$

(3) $3(x + 1)^2 - 1$

(4) $-2(x - 1)^2 + 3$

(5) $2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(6) $-2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{9}{8}$

(7) $\frac{1}{3}(x - 2)^2 + \frac{2}{3}$

(8) $-\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{3}{2}$