縦20m、横16mの長方形の宅地がある。この宅地を縦横に1本ずつ同じ幅の道路を通して4つの区画に分けたところ、1区画の面積が63m²になった。道路の幅を求めよ。

代数学二次方程式面積組み合わせ
2025/8/7
問題1:

1. 問題の内容

縦20m、横16mの長方形の宅地がある。この宅地を縦横に1本ずつ同じ幅の道路を通して4つの区画に分けたところ、1区画の面積が63m²になった。道路の幅を求めよ。

2. 解き方の手順

道路の幅を xx [m]とする。
4つの区画の面積の合計は 4×63=2524 \times 63 = 252 [m²]となる。
道路を除いた区画の縦の長さは 20x20 - x [m]を2で割った長さなので、(20x)/2=10x/2(20 - x)/2 = 10 - x/2 [m]である。
道路を除いた区画の横の長さは 16x16 - x [m]を2で割った長さなので、(16x)/2=8x/2(16 - x)/2 = 8 - x/2 [m]である。
4つの区画の面積の合計は、元の長方形の面積から道路部分の面積を引いたものに等しい。
元の長方形の面積は 20×16=32020 \times 16 = 320 [m²]である。
縦方向の道路の面積は 16x16x [m²]である。
横方向の道路の面積は 20x20x [m²]である。
縦横の道路が交差する部分の面積は x2x^2 [m²]である。
道路部分の面積の合計は 16x+20xx2=36xx216x + 20x - x^2 = 36x - x^2 [m²]である。
したがって、320(36xx2)=252320 - (36x - x^2) = 252が成り立つ。
式を整理すると、x236x+68=0x^2 - 36x + 68 = 0となる。
この2次方程式を解く。
x=(36)±(36)24(1)(68)2(1)x = \frac{-(-36) \pm \sqrt{(-36)^2 - 4(1)(68)}}{2(1)}
x=36±12962722x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 272}}{2}
x=36±10242x = \frac{36 \pm \sqrt{1024}}{2}
x=36±322x = \frac{36 \pm 32}{2}
x=18±16x = 18 \pm 16
x=34x = 34 または x=2x = 2
x=34x=34はありえないので、x=2x = 2である。

3. 最終的な答え

道路の幅は2m
問題2:

1. 問題の内容

縦に4cm間隔で6本、横に3cm間隔で4本の平行線が互いに直角に交わっているとき、この中に含まれる長方形は大小合わせて全部でいくつありますか。

2. 解き方の手順

長方形は、縦方向の2本の線と横方向の2本の線を選ぶことで一意に決まる。
縦方向に7本の線、横方向に5本の線がある。
縦方向の2本の線の選び方は、7本から2本を選ぶ組み合わせなので、7C2=7×62×1=21{}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21通り。
横方向の2本の線の選び方は、5本から2本を選ぶ組み合わせなので、5C2=5×42×1=10{}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10通り。
長方形の総数は、縦方向の線の選び方と横方向の線の選び方の積で求まる。

3. 最終的な答え

長方形の総数は 21×10=21021 \times 10 = 210

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