I. $n$ を自然数とする。3次方程式 $x^3 + nx^2 + (n-6)x - 2 = 0$ の一つの解が自然数であるとき、方程式の解をすべて求めよ。 II. 2つの整式 $f(x) = x^3 + 3x^2 + mx + 3$ と $g(x) = x^3 + mx^2 + (m+3)x + 4$ を考える。ただし、$m$ は整数の定数とする。2つの方程式 $f(x)=0$、$g(x)=0$ が共通の整数の解 $n$ を持つとき、方程式 $f(x)=0$ の解をすべて求めよ。

1. 問題の内容

I. $n$ を自然数とする。3次方程式 $x^3 + nx^2 + (n-6)x - 2 = 0$ の一つの解が自然数であるとき、方程式の解をすべて求めよ。

II. 2つの整式 $f(x) = x^3 + 3x^2 + mx + 3$ と $g(x) = x^3 + mx^2 + (m+3)x + 4$ を考える。ただし、$m$ は整数の定数とする。2つの方程式 $f(x)=0$、$g(x)=0$ が共通の整数の解 $n$ を持つとき、方程式 $f(x)=0$ の解をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

I.

$x^3 + nx^2 + (n-6)x - 2 = 0$

一つの自然数解を $\alpha$ とすると、$\alpha > 0$ である。

$\alpha^3 + n\alpha^2 + (n-6)\alpha - 2 = 0$

$n(\alpha^2 + \alpha) = 6\alpha + 2 - \alpha^3$

$n = \frac{6\alpha + 2 - \alpha^3}{\alpha^2 + \alpha}$

$n = \frac{6\alpha + 2 - \alpha^3}{\alpha(\alpha + 1)}$

$\alpha = 1$ のとき、 $n = \frac{6 + 2 - 1}{1 + 1} = \frac{7}{2}$ となり、$n$ が自然数という条件に合わない。

$\alpha = 2$ のとき、 $n = \frac{12 + 2 - 8}{4 + 2} = \frac{6}{6} = 1$ となり、条件に合う。

このとき、方程式は $x^3 + x^2 - 5x - 2 = 0$ となる。

$x = 2$ を解に持つので、$(x - 2)(x^2 + 3x + 1) = 0$

$x = 2, \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\alpha = 3$ のとき、$n = \frac{18 + 2 - 27}{9 + 3} = \frac{-7}{12} < 0$ となり、$n$ が自然数という条件に合わない。

$x=2, \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

II.

$f(n) = n^3 + 3n^2 + mn + 3 = 0$

$g(n) = n^3 + mn^2 + (m+3)n + 4 = 0$

$f(n) - g(n) = (3-m)n^2 + (m - m - 3)n - 1 = 0$

$(3-m)n^2 - 3n - 1 = 0$

$m = \frac{3n^2 - 3n - 1}{n^2}$

$m = 3 - \frac{3n+1}{n^2}$

$m$ が整数なので、$n^2$ は $3n+1$ を割り切る必要がある。

$3n+1 > 0$ なので、$n^2 <= 3n+1$ である。

$n^2 - 3n - 1 <= 0$

$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

$n \leq \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3$

$n = 1, 2, 3$

$n = 1$ のとき、$m = 3 - \frac{4}{1} = -1$

$f(x) = x^3 + 3x^2 - x + 3 = 0$

$(x+3)(x^2 - 1) = x^3+3x^2-x-3$ なので間違い.

f(x) = x³+3x²+mx+3=0にx=nを代入した式にn=1 m=-1を代入する

1+3-1+3=6≠0

$n = -1$ のとき、$m = 3 - \frac{-3+1}{1} = 3 - (-2) = 5$

$f(x) = x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = (x+1)(x^2 + 2x + 3) = 0$

$x = -1, \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

$n=2$のとき、$m = 3 - \frac{6+1}{4} = 3 - \frac{7}{4}$となり$m$が整数ではない。

$n=-1$のとき、$m = 5$, $f(x)=x^3+3x^2+5x+3$。

3. 最終的な答え

I. $x = 2, \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

II. $x = -1, -1 \pm i\sqrt{2}$