2次不等式 $x^2 - 6x + 11 < 0$ と $x^2 - 6x + 11 > 0$ を解く問題です。 また、$y = x^2 - 6x + 11$ を平方完成させ、グラフとx軸の関係、2次方程式 $x^2 - 6x + 11 = 0$ の解の有無、および $ax^2 + bx + c > 0$ と $ax^2 + bx + c < 0$ ($a>0$ かつ $ax^2+bx+c=0$ が解を持たない時) の解を答える問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - 6x + 11 < 0$ と $x^2 - 6x + 11 > 0$ を解く問題です。

また、$y = x^2 - 6x + 11$ を平方完成させ、グラフとx軸の関係、2次方程式 $x^2 - 6x + 11 = 0$ の解の有無、および $ax^2 + bx + c > 0$ と $ax^2 + bx + c < 0$ ($a>0$ かつ $ax^2+bx+c=0$ が解を持たない時) の解を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 6x + 11$ を平方完成させます。

$y = (x^2 - 6x) + 11$

$y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 11$

$y = (x - 3)^2 - 9 + 11$

$y = (x - 3)^2 + 2$

したがって、$y = (x - \boxed{3})^2 + \boxed{2}$ となります。

この2次関数のグラフは $x$軸との交点は存在せず、常に $x$ 軸の上側にある。

なぜなら、$y = (x-3)^2 + 2$ は $(x-3)^2 \ge 0$ であるから、$y \ge 2$ であり、$y$ が負になることはないため、$x$ 軸との交点を持たない。

また、頂点の$y$座標が正であるため、グラフは常に$x$軸の上側にある。

つまり、$x$のどんな値に対しても、$y > 0$ だから、

$x^2 - 6x + 11 < 0$ となる $x$ は存在せず、解なし。

$x^2 - 6x + 11 > 0$ となる $x$ は全ての実数。

次に、$x^2 - 6x + 11 = 0$ を解の公式で解きます。

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(11)}}{2(1)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{-8}}{2}$

したがって、$x = \frac{\boxed{6} \pm \sqrt{\boxed{-8}}}{\boxed{2}}$ となります。

根号の中が負になるので解が存在しない。

2次方程式 $x^2 - 6x + 11 = 0$ の解が存在しないということは、2次関数 $y = x^2 - 6x + 11$ のグラフは $x$軸との共有点が存在しないということです。

$a > 0$ かつ、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が存在しない時、$ax^2 + bx + c > 0$ の解は全ての実数、$ax^2 + bx + c < 0$ の解は存在しない(解なし) となります。

3. 最終的な答え

* $y = (x - 3)^2 + 2$

* $x$

* 0

* 解なし

* 全ての実数

* $x = \frac{6 \pm \sqrt{-8}}{2}$

* ⑥

* ③

* ②