問題1：放物線 $y = ax^2$ 上に点 $A(-2, -8)$ と $x$ 座標が $1$ である点 $B$ がある。 (1) 点 $B$ の座標を求める。 (2) 放物線上の $O$ と $A$ の間に点 $P$ を、$\triangle PAB = \triangle OAB$ となるようにとるとき、点 $P$ の座標を求める。 問題2：放物線 $y = x^2$ と、直線 $y = x$ の原点以外の交点を $A$、直線 $y = x + 6$ との交点を $B, C$ として、台形 $OABC$ を作る。 (1) 点 $A, B, C$ の座標を求める。 (2) 台形 $OABC$ の面積を求める。

1. 問題の内容

問題1：放物線 $y = ax^2$ 上に点 $A(-2, -8)$ と $x$ 座標が $1$ である点 $B$ がある。

(1) 点 $B$ の座標を求める。

(2) 放物線上の $O$ と $A$ の間に点 $P$ を、$\triangle PAB = \triangle OAB$ となるようにとるとき、点 $P$ の座標を求める。

問題2：放物線 $y = x^2$ と、直線 $y = x$ の原点以外の交点を $A$、直線 $y = x + 6$ との交点を $B, C$ として、台形 $OABC$ を作る。

(1) 点 $A, B, C$ の座標を求める。

(2) 台形 $OABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 点 $A(-2, -8)$ は $y = ax^2$ 上にあるので、代入すると $-8 = a(-2)^2$ より、 $-8 = 4a$ となり、$a = -2$。

したがって、放物線は $y = -2x^2$。

点 $B$ の $x$ 座標は $1$ なので、 $y = -2(1)^2 = -2$。

よって、点 $B$ の座標は $(1, -2)$。

(2) $\triangle PAB = \triangle OAB$ となるためには、$AB$ と $OP$ が平行である必要がある。

直線 $AB$ の傾きは、$\frac{-2 - (-8)}{1 - (-2)} = \frac{6}{3} = 2$。

したがって、直線 $OP$ の式は $y = 2x$。

点 $P$ は $y = -2x^2$ 上にあるので、$-2x^2 = 2x$。

$2x^2 + 2x = 0$ より、$2x(x + 1) = 0$。

$x = 0, -1$。

点 $P$ は $O$ と $A$ の間にあるので、$x = -1$。

$y = 2(-1) = -2$。

よって、点 $P$ の座標は $(-1, -2)$。

問題2：

(1) 点 $A$ は $y = x^2$ と $y = x$ の交点なので、$x^2 = x$。

$x^2 - x = 0$ より、$x(x - 1) = 0$。

$x = 0, 1$。原点以外の交点なので、$x = 1$。

$y = 1$。

よって、$A(1, 1)$。

点 $B, C$ は $y = x^2$ と $y = x + 6$ の交点なので、$x^2 = x + 6$。

$x^2 - x - 6 = 0$。

$(x - 3)(x + 2) = 0$。

$x = 3, -2$。

$x = 3$ のとき、$y = 3 + 6 = 9$。

$x = -2$ のとき、$y = -2 + 6 = 4$。

したがって、$B(3, 9), C(-2, 4)$。

(2) 台形 $OABC$ の面積は、

上底 $OC$ と下底 $AB$、高さは点 $(0, 0)$ から直線 $AB$ までの距離で求めることができる。

直線 $y = x+6$ より $OC$ の長さは $\sqrt{(-2-0)^2+(4-0)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

直線 $y = x-y=0$ と点 $A, B$ より $AB$ の長さは $\sqrt{(3-1)^2+(9-1)^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68}=2\sqrt{17}$.

点 $O$ から直線 $AB$ までの距離は　$y=x-y+6=0$ より $\frac{|0-0+6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

よって面積は $\frac{1}{2}*(2\sqrt{5}+2\sqrt{17})*3\sqrt{2} =3\sqrt{10}+3\sqrt{34}$.

あるいは座標を使った方法で求める。

$O(0, 0), A(1, 1), B(3, 9), C(-2, 4)$ より、台形 $OABC$ の面積は、$\frac{1}{2} | (0 \cdot 1 + 1 \cdot 9 + 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 0) - (0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 9 \cdot (-2) + 4 \cdot 0) | = \frac{1}{2} | (0 + 9 + 12 + 0) - (0 + 3 - 18 + 0) | = \frac{1}{2} | 21 - (-15) | = \frac{1}{2} | 36 | = 18$。

3. 最終的な答え

問題1：

(1) B(1, -2)

(2) P(-1, -2)

問題2：

(1) A(1, 1), B(3, 9), C(-2, 4)

(2) 18