定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{0} \frac{2x}{\sqrt{4-x^2}} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{0} \frac{2x}{\sqrt{4-x^2}} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この定積分を解くために、置換積分法を用います。

$u = 4 - x^2$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = -2x$ となります。したがって、$du = -2x dx$、つまり $-du = 2x dx$ となります。

これにより、積分は $\int \frac{-du}{\sqrt{u}}$ と書き換えられます。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = -\sqrt{3}$ のとき、$u = 4 - (-\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

$x = 0$ のとき、$u = 4 - (0)^2 = 4 - 0 = 4$

したがって、積分は

$\int_{1}^{4} \frac{-1}{\sqrt{u}} du = -\int_{1}^{4} u^{-1/2} du$

となります。

$u^{-1/2}$ の積分は $\frac{u^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{u}$ なので、

$-\int_{1}^{4} u^{-1/2} du = -[2\sqrt{u}]_{1}^{4} = -[2\sqrt{4} - 2\sqrt{1}] = -[2(2) - 2(1)] = -[4 - 2] = -2$

3. 最終的な答え

-2