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定積分 $\int_{-1}^{3} (x^2+x) dx - \int_{-1}^{3} (x^2-x) dx$ を計算せよ。

解析学定積分積分計算
2025/8/8

1. 問題の内容

定積分 ∫−13(x2+x)dx−∫−13(x2−x)dx\int_{-1}^{3} (x^2+x) dx - \int_{-1}^{3} (x^2-x) dx を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、積分を一つにまとめる。
∫−13(x2+x)dx−∫−13(x2−x)dx=∫−13((x2+x)−(x2−x))dx\int_{-1}^{3} (x^2+x) dx - \int_{-1}^{3} (x^2-x) dx = \int_{-1}^{3} ( (x^2+x) - (x^2-x) ) dx
被積分関数を整理する。
(x2+x)−(x2−x)=x2+x−x2+x=2x(x^2+x) - (x^2-x) = x^2+x - x^2 + x = 2x
したがって、
∫−13((x2+x)−(x2−x))dx=∫−132xdx\int_{-1}^{3} ( (x^2+x) - (x^2-x) ) dx = \int_{-1}^{3} 2x dx
2x2x の不定積分は x2x^2 なので、定積分は
∫−132xdx=[x2]−13=(32)−((−1)2)=9−1=8\int_{-1}^{3} 2x dx = [x^2]_{-1}^{3} = (3^2) - ((-1)^2) = 9 - 1 = 8

3. 最終的な答え

8

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