与えられた5つの問題を解く。 (1) $(4x+3)(3x-2) - (3x+1)(3x-1)$ を展開し、整理する。 (2) $2a^2 + 3ab - 2b^2$ を因数分解する。 (3) $(1+\sqrt{2} - \sqrt{3})(1+\sqrt{2} + \sqrt{3})$ を計算し、簡単にする。 (4) 連立不等式 $ \begin{cases} 2(x-1) + 3 \le 4x + 5 \\ 0.35x < 0.15x + 0.6 \end{cases} $ の解を求める。 (5) $x = \frac{5}{2}$ のとき、$|x| + |x-3|$ を計算し、簡単にする。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた5つの問題を解く。

(1) $(4x+3)(3x-2) - (3x+1)(3x-1)$ を展開し、整理する。

(2) $2a^2 + 3ab - 2b^2$ を因数分解する。

(3) $(1+\sqrt{2} - \sqrt{3})(1+\sqrt{2} + \sqrt{3})$ を計算し、簡単にする。

(4) 連立不等式

$$

\begin{cases}

2(x-1) + 3 \le 4x + 5 \\

0.35x < 0.15x + 0.6

\end{cases}

$$

の解を求める。

(5) $x = \frac{5}{2}$ のとき、$|x| + |x-3|$ を計算し、簡単にする。

2. 解き方の手順

(1) $(4x+3)(3x-2) - (3x+1)(3x-1)$ を展開し、整理する。

まず、それぞれを展開します。

$(4x+3)(3x-2) = 12x^2 - 8x + 9x - 6 = 12x^2 + x - 6$

$(3x+1)(3x-1) = 9x^2 - 3x + 3x - 1 = 9x^2 - 1$

次に、引き算をします。

$(12x^2 + x - 6) - (9x^2 - 1) = 12x^2 + x - 6 - 9x^2 + 1 = 3x^2 + x - 5$

(2) $2a^2 + 3ab - 2b^2$ を因数分解する。

$2a^2 + 3ab - 2b^2 = (2a - b)(a + 2b)$

(3) $(1+\sqrt{2} - \sqrt{3})(1+\sqrt{2} + \sqrt{3})$ を計算し、簡単にする。

これは和と差の積の形なので、次のように計算できます。

$(1+\sqrt{2} - \sqrt{3})(1+\sqrt{2} + \sqrt{3}) = ((1+\sqrt{2}) - \sqrt{3})((1+\sqrt{2}) + \sqrt{3})$

$= (1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 3 = 3 + 2\sqrt{2} - 3 = 2\sqrt{2}$

(4) 連立不等式を解く。

まず、1つ目の不等式を解きます。

$2(x-1) + 3 \le 4x + 5$

$2x - 2 + 3 \le 4x + 5$

$2x + 1 \le 4x + 5$

$-4 \le 2x$

$-2 \le x$

$x \ge -2$

次に、2つ目の不等式を解きます。

$0.35x < 0.15x + 0.6$

$0.2x < 0.6$

$x < 3$

したがって、連立不等式の解は $-2 \le x < 3$

(5) $x = \frac{5}{2}$ のとき、$|x| + |x-3|$ を計算し、簡単にする。

$x = \frac{5}{2} = 2.5$ なので、

$|x| = |\frac{5}{2}| = \frac{5}{2}$

$|x-3| = |\frac{5}{2} - 3| = |\frac{5}{2} - \frac{6}{2}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

したがって、$|x| + |x-3| = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $3x^2 + x - 5$

(2) $(2a - b)(a + 2b)$

(3) $2\sqrt{2}$

(4) $-2 \le x < 3$

(5) $3$